Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2019 год


Z+ арқылы натурал сандар жиынын белгілейік. Кез келген натурал a және b сандары үшін a2+f(a)f(b) саны f(a)+b санына бөлінетіндей барлық f:Z+Z+ функцияларын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   4
5 года 9 месяца назад #

1) Подставим в условие a=1 и b=1, получим:

1+f(1)|1+f(1)2

Отсюда f(1)=1. Теперь, подставим b=f(a):

f(a)|2f(a)|a2+f(a)f(f(a))

Тогда f(a)|a2 (1)

2) Подставляя a=1 и b=a, имеем:

1+a|1+f(a) af(a) (2)

3) Подставляя b=1, имеем:

f(a)+1|a2+f(a) ()

Но учитывая (1):

f(a)|a2+f(a) ()

Так как НОД(f(a)+1,f(a))=1, то из (*) и (**) получим:

f(a)(f(a)+1)|a2+f(a) a2(f(a))2 (3)

Из (2) и (3): af(a)a, откуда f(a)=a для любого натурального a.

Сделав проверку, убеждаемся, что ответ удовлетворяет условию.

Ответ: f(a)=a

  4
3 года 1 месяца назад #

Обозначим за P(x,y) подстановку чисел x,y в исxодное условие.

P(1,1):f(1)+1|f(1)2+1f(1)=1

P(1,a):a+1|f(a)+1af(a),aN

P(a,1):f(a)+1|a2+f(a)f(a)|a21f(a)a22,a2

P(a,f(a)):2f(a)|a2+f(f(a))f(a)f(a)|a2,aN

Тогда pPf(p)=p. Возьмем a такое, что (a,p)=1.

P(p,a):a+p|p2+f(a)pa+p|p+f(a)

Беря p>f(a)2a получаем, что f(a)=a,aN.

пред. Правка 2   0
2 года 7 месяца назад #

.

  0
7 месяца 3 дней назад #

Пусть P(x,y) подстановка чисел x,y в исходное условие.

P(1,1):f(1)+1|f(1)2+1f(1)=1

P(1,a):a+1|f(a)+1f(a)a

Теперь докажем по индукции что для любого натурального x , f(x)=x.База:f(1)=1. Допустим что для какого-то k выполнено что f(k)=k. Докажем что f(k+1)=k+1.

P(k+1,k):f(k+1)+k|(k+1)2+f(k+1)k

f(k+1)+k|(k+1)2k2

f(k+1)+k|2k+1

2k+1f(k+1)+kk+1f(k+1)

Выходит что: f(k+1)k+1,k+1f(k+1)f(k+1)=k+1

Ответ:f(a)=a