23-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Кипр, 2019 год

Задача №1. Найдите все простые числа

$p,$ для которых существуют такие положительные целые числа

$x,y,z$ , что число

$x^p+y^p+z^p-x-y-z$ равно произведению трёх различных простых чисел.
комментарий/решение(10)

Задача №2. Пусть

$a$ и

$b$ — два различных действительных числа, и пусть

$c$ — такое положительное действительное число, что

$a^4 - 2019a = b^4- 2019b = c.$ Докажите, что

$-\sqrt c < ab <0.$
комментарий/решение(2)

Задача №3. Дан треугольник

$ABC$ такой, что

$AB < AC$ . Серединный перпендикуляр к стороне

$BC$ пересекает прямые

$AB$ и

$AC$ в точках

$P$ и

$Q$ соответственно. Пусть

$H$ — ортоцентр треугольника

$ABC$ , и пусть

$M$ и

$N$ являются серединами отрезков

$BC$ и

$PQ$ соответственно. Докажите, что прямые

$HM$ и

$AN$ пересекаются на окружности, описанной около треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Прямоугольная таблица размером

$5 \times 100$ разделена на 500 единичных квадратиков,

$n$ из которых покрашены в чёрный цвет, остальные — в белый. Два единичных квадратика называются соседними, если они имеют общую сторону. Каждый из единичных квадратиков в таблице имеет не более двух соседних чёрных единичных квадратиков. Найдите наибольшее возможное значение

$n$ .
комментарий/решение(2)

результаты