23-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Кипр, 2019 год

Дан треугольник $ABC$ такой, что $AB < AC$. Серединный перпендикуляр к стороне $BC$ пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$, и пусть $M$ и $N$ являются серединами отрезков $BC$ и $PQ$ соответственно. Докажите, что прямые $HM$ и $AN$ пересекаются на окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Из леммы об отражении ортоцентра, знаем, что прямая $HM$ пересекает малую дугу $BC$ описанной окружности $\triangle ABC$ в точке диаметрально противоположную точке $A$. Тогда вторая точка пересечения $K$ будет таким, что $\angle AKH = 90^{\circ}$. Значит, чтобы доказать, что $HM \cap AN \in (ABC)$, нам достаточно показать, что $AN \perp HN$.

Сначала поймем, что $\triangle BHC \sim \triangle QAP$, потому что $\angle APQ = 90^{\circ} - \angle ABC = \angle HCA$ и $\angle PAQ = 180^{\circ} - \angle BAC = \angle BHC$, но так как $QP \perp BC$, все соответствующие элементы так же перпендикулярны. Но, $AN$ и $HM$ соответствующие медианы, значит $AN \perp HM$. ч.т.д.