Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

23-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Кипр, 2019 год


Найдите все простые числа p, для которых существуют такие положительные целые числа x,y,z, что число xp+yp+zpxyz равно произведению трёх различных простых чисел.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
3 года 10 месяца назад #

Ответ:p=2,3,5

Заметим что по теореме ферма при p>5 xpx делится на 6p (так как x(xp11) делится на x(x21),а это число на 6). Но при x>1(в ином случае x=y=z=1, но в этом случае выражения равно 0), xpx+ypy+zpzxpx2p2>6p, значит это число (при p>5) произведение больше чем 3 простых чисел. Вот примеры для:

p=5,x=2,y=z=1

p=3,x=1,y=2,z=3

p=2,x=3,y=z=4

пред. Правка 2   1
3 года 10 месяца назад #

На JBMO, BMO часто снимают баллы за недоказанные факты, несмотря на их простоту. Так, например, у участников того года снимали по 1-2 балла если не доказали, что 2p2>6p.

(Совет будущим участникам помнить об этом)

  1
3 года 10 месяца назад #

Мне кажется этот ученик был ты)лол

  1
3 года 10 месяца назад #

жёстко..

  2
3 года 10 месяца назад #

Этими людьми были четверо из шести участников команды Казахстана)

  2
3 года 10 месяца назад #

Мне вас правда жаль, может из за этих не достаточных баллов вы не смогли взять хорошое место. А так на сайте matol не обязательно предоставлять полные решение(мы же не на олимпиаде), цель сайта это научить думать критически и понимать какие методы и теории нужны использовать при решении олимпиадных задач.

  2
3 года 10 месяца назад #

думайте критически, занимайтесь математикой, хвхвх

  6
2 года 1 месяца назад #

2pp2 это известно если p4 и 2p2>p2 если p5 т.к. p7 то 2p2>p2>6p если p7 .Вот доказательство

  0
2 года 1 месяца назад #

так можно просто 2p2>6p через индукцию доказать для чисел p>5, не?

  3
2 года 1 месяца назад #

Это то можно но разницы нету т.к. мы доказали то что надо было