21-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Кипр, 2019 год
Комментарий/решение:
a4−2019a=b4−2019b⇔(a−b)(a3+b3+a2b+ab2−2019)=0
a≠b⇒a3+b3+a2b+ab2=2019(1)
(1)⇒a(a2+b2+ab)=2019−b3(2)
a4−2019a=b4−2019b=c>0⇒a,b∈I≡(−∞,0)∪(2019,+∞)
1)a<0:a(a2+b2+ab)⏟<0=2019−b3<0⇒{b3>2019}∩I=(2019,+∞)⇒b>2019
a<0,b>2019⇒ab<0
(1)⇒ab(a2+ab+b2)=2019b−b4⏟−c⇒(ab)2+(ab)(a2+b2)+c=0⇒
⇒c=−(ab)2−(ab)(a2+b2)≥(ab)2⇒(ab)2−c≤0⇒−√c≤ab≤√c⇒
⇒−√c≤ab<0≤√c
2)a>2019:a(a2+b2+ab)⏟>0=2019−b3>0⇒{b3<2019}∩I=(−∞,0)⇒b<0
a>2019,b<0⇒ab<0
c=−(ab)2−(ab)(a2+b2)≥(ab)2⇒(ab)2−c≤0⇒−√c≤ab≤√c⇒
⇒−√c≤ab<0≤√c
Для начала a,b≠0, ведь иначе c=0. Пусть корни уравнения x4−2019x−c=0 будут a,b,z1,z2(z1,z2 необязательно действительные). Обозначим p=z1+z2,q=z1z2. Тогда по теореме Виета a+b+p=0,abq=−c,ab+(a+b)p+q=0Выразим из первых двух уравнений p,q и подставим в третье ab−(a+b)2−cab=0⇔c=ab(ab−(a+b)2)
Поскольку c>0 и ab−(a+b)2=a2−ab−b2<0, получаем ab<0. Далее c=ab(ab−(a+b)2)≥(ab)2. Равенство достигается лишь при b=−a, откуда из условия a=0 - противоречие. Так −√c<ab<0, что требовалось.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.