Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

21-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Кипр, 2019 год


\z Пусть a и b — два различных действительных числа, и пусть c — такое положительное действительное число, что a42019a=b42019b=с. Докажите, что sqrtc<ab<0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
5 года 10 месяца назад #

a42019a=b42019b(ab)(a3+b3+a2b+ab22019)=0

aba3+b3+a2b+ab2=2019(1)

(1)a(a2+b2+ab)=2019b3(2)

a42019a=b42019b=c>0a,bI(,0)(2019,+)

1)a<0:a(a2+b2+ab)<0=2019b3<0{b3>2019}I=(2019,+)b>2019

a<0,b>2019ab<0

(1)ab(a2+ab+b2)=2019bb4c(ab)2+(ab)(a2+b2)+c=0

c=(ab)2(ab)(a2+b2)(ab)2(ab)2c0cabc

cab<0c

2)a>2019:a(a2+b2+ab)>0=2019b3>0{b3<2019}I=(,0)b<0

a>2019,b<0ab<0

c=(ab)2(ab)(a2+b2)(ab)2(ab)2c0cabc

cab<0c

пред. Правка 4   8
2 года 3 месяца назад #

Для начала a,b0, ведь иначе c=0. Пусть корни уравнения x42019xc=0 будут a,b,z1,z2(z1,z2 необязательно действительные). Обозначим p=z1+z2,q=z1z2. Тогда по теореме Виета a+b+p=0,abq=c,ab+(a+b)p+q=0Выразим из первых двух уравнений p,q и подставим в третье ab(a+b)2cab=0c=ab(ab(a+b)2)

Поскольку c>0 и ab(a+b)2=a2abb2<0, получаем ab<0. Далее c=ab(ab(a+b)2)(ab)2. Равенство достигается лишь при b=a, откуда из условия a=0 - противоречие. Так c<ab<0, что требовалось.