Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2019 год

Задача №1. Можно ли в клетки таблицы

$3\times 3$ вписать цифры от 1 до 9 (в каждую клетку — одну цифру, и каждую цифру ровно один раз) так, чтобы сумма цифр, записанных в каждом её квадрате

$2 \times 2,$ была кратна 10?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите среднее арифметическое всех дробей вида

$\dfrac{{106}}{{107}},\dfrac{{106106}}{{107107}},\dfrac{{106106106}}{{107107107}}, \ldots ,\dfrac{{106106 \ldots 106}}{{107107 \ldots 107}}$ (в последней дроби и в знаменателе и числителе по 99 цифр).
комментарий/решение(1)

Задача №3. В комнате 40 человек: лжецы которые всегда лгут, и правдивые которые всегда говорят правду. Все 40 человек имеют разный рост. Каждый из них сделал одно из следующих двух заявлении о присутствующих в комнате: «не менее 10 лжецов ниже меня» или «не менее 5 лжецов выше меня». Какое наименьшее число правдивых может находиться в этой комнате?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Натуральное число называется замечательным, если оно представимо в виде произведения двух натуральных чисел с одинаковыми суммами цифр. Найдите ближайшее к 2020 замечательное число, отличное от него. (Число 2020 замечательное, так как

$2020=1010 \cdot 2$ .) ( Ибатулин И. )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Разрежьте квадрат на три части, из которых можно было бы сложить треугольник с тремя острыми углами и различными сторонами. (Резать можно как угодно.)
комментарий/решение

Задача №6. 165 слив разложены в пакеты – синие и красные, всего 20 пакетов. В синих пакетах лежат по 7 слив, во всех красных пакетах содержится по одинаковому количеству слив. Сколько слив лежит в одном красном пакете? (Укажите все возможные ответы).
комментарий/решение(1)

Задача №7. В клетчатой таблице

$6 \times 6$ разместили без наложений несколько доминошек (плиток вида

$1 \times 2$ и

$2 \times 1$ ). Каждая доминошка закрывает ровно две клетки таблицы. Известно, что в каждом квадрате

$2 \times 2$ хотя бы одна клетка покрыта доминошкой и доминошки не выходят за края таблицы. Найдите наименьшее возможное количество доминошек.
комментарий/решение

Задача №8. Семеро друзей собирали орехи. Каждый из них посчитал количество найденных им орехов. Оказалось, что у любых двух из них разное количество орехов. При этом общее количество орехов найденных любыми двумя, не меньше 40, а общее количество орехов найденных любыми тремя не больше 80. Сколько всего орехов могли найти все семеро друзей? В ответе укажите все возможные варианты.
комментарий/решение(1)