Математикадан облыстық олимпиада, 2019 жыл, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Ешқандай екеуі өзара тең емес бес натурал сандардың әрбір үшеуінің қосындысы есептелінді. Ең кем дегенде, неше әртүрлі қосынды алуымыз мүмкін?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Берілген сандар үшін

$\frac{A}{B}$ қатынасының бүтін бөлігін табыңдар:

$A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \ldots + \frac{1}{{997 \cdot 998}} + \frac{1}{{999 \cdot 1000}}$ және

$B = \frac{1}{{501 \cdot 1000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \ldots + \frac{1}{{999 \cdot 502}} + \frac{1}{{1000 \cdot 501}}.$ (

$x$ санының бүтін бөлігі деп,

$x$ -тен аспайтын ең үлкен бүтін санды айтамыз.)
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Центрі

$I$ нүктесі болатын, теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$AB,$

$BC$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$D,$

$E$ және

$F$ нүктелерінде жанайды.

$AI$ және

$BI$ түзулері

$EF$ түзуін сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелерінде қияды.

$G$ нүктесі

$AB$ кесіндісінің ортасы болсын.

$M,$

$N,$

$D$ және

$G$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Центрлері сәйкесінше

$O_1$ және

$O_2$ нүктелері болатын

$\Gamma_1$ және

$\Gamma_2$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$O_1A$ түзуі

$\Gamma_2$ шеңберін екінші рет

$C$ нүктесінде, ал

$O_2A$ түзуі

$\Gamma_1$ шеңберін екінші рет

$D$ нүктесінде қиып өтеді.

$AD$ -ға параллель

$\ell$ түзуі

$\Gamma_1$ шеңберін

$B$ және

$E$ нүктелерінде қиып өтеді. Егер

$O_1 A\parallel DE$ екені белгілі болса,

$CD \perp O_2C$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Өлшемі

$2019\times 2019$ болатын кестенің барлық шаршыларын, әрбір

$2 \times 2$ квадраттың дәл екі қара және екі ақ шаршысы болатындай етіп, қанша әдіспен бояуға болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$2^k+10n^2+n^4$ саны толық квадрат болатындай барлық

$n$ мен

$k$ натурал сандарының жұптарын табыңдар.
комментарий/решение(1)