Математикадан облыстық олимпиада, 2019 жыл, 9 сынып
Центрі I нүктесі болатын, теңбүйірлі емес ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбер AB, BC және AC қабырғаларын сәйкесінше D, E және F нүктелерінде жанайды. AI және BI түзулері EF түзуін сәйкесінше M және N нүктелерінде қияды. G нүктесі AB кесіндісінің ортасы болсын. M, N, D және G нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Докажем, что ∠AMB=90∘ (см. рис. ниже). Точки I, M, E и B лежат на одной окружности, так как если M лежит на отрезке EF, то
∠BIM=∠A2+∠B2=90∘−∠C2=∠CEM=180∘−∠MEB;
если же точка M — на продолжении EF, то ∠BIM=∠BEM. Таким образом, ∠AMB=∠IMB=∠IEB=90∘.
Аналогично, ∠ANB=90∘. Пусть AN и BM пересекаются в точке K. Тогда I — ортоцентр △AKB. Так как ID⊥AB, то K лежит на прямой ID. Осталось заметить, что точки M, N, D и G лежат на окружности девяти точек треугольника ABK.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.