Областная олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Для пяти попарно различных натуральных чисел вычислили всевозможные суммы каждых трех из этих чисел. Какое наименьшее число различных сумм могло получиться при этом?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите целую часть отношения

$\frac{A}{B}$ для чисел

$A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \ldots + \frac{1}{{997 \cdot 998}} + \frac{1}{{999 \cdot 1000}}$ и

$B = \frac{1}{{501 \cdot 1000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \ldots + \frac{1}{{999 \cdot 502}} + \frac{1}{{1000 \cdot 501}}.$ (Целой частью числа

$x$ называется наибольшее целое число, не превышающее

$x.$ )
комментарий/решение(3)

Задача №3. Окружность с центром в точке

$I$ , вписанная в неравнобедренный треугольник

$ABC$ , касается сторон

$AB,$

$BC$ и

$AC$ в точках

$D,$

$E$ и

$F$ соответственно. Прямые

$AI$ и

$BI$ пересекают прямую

$EF$ в точках

$M$ и

$N$ соответственно. Пусть

$G$ — середина отрезка

$AB.$ Докажите, что точки

$M,$

$N,$

$D$ и

$G$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Две окружности

$\Gamma_1$ и

$\Gamma_2$ с центрами в точках

$O_1$ и

$O_2$ соответственно, пересекаются в точках

$A$ и

$B.$ Прямая

$O_1 A$ пересекает

$\Gamma_2$ во второй раз в точке

$C,$ а прямая

$O_2 A$ пересекает

$\Gamma_1$ во второй раз в точке

$D.$ Прямая

$\ell$ , параллельная

$AD$ , пересекает

$\Gamma_1$ в точках

$B$ и

$E.$ Известно, что

$O_1A \parallel DE.$ Докажите, что

$CD \perp O_2 C$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Сколькими способами можно раскрасить все клетки таблицы

$2019\times 2019$ в черный и белый цвета так, чтобы в каждом квадрате

$2 \times 2$ было ровно две белые и две черные клетки?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Найдите все такие пары натуральных чисел

$n$ и

$k$ , что число

$2^k+10n^2+n^4$ является полным квадратом.
комментарий/решение(1)