Областная олимпиада по математике, 2019 год, 9 класс
Найдите целую часть отношения AB для чисел
A=11⋅2+13⋅4+…+1997⋅998+1999⋅1000 и
B=1501⋅1000+1502⋅999+…+1999⋅502+11000⋅501. (Целой частью числа x называется наибольшее целое число, не превышающее x.)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. 750.
Решение. Используя тождество 1n(n+1)=1n−1n+1 получаем, что
A=11⋅2+13⋅4+…+1999⋅1000=11−12+13−14+…+1999−11000=
=(11+12+13+…+11000)−2(12+14+16+…+11000)=
=(11+12+13+…+11000)−(11+12+13+…+1500)=
=1501+1502+…+11000.(1)
Аналогично, используя тождество 1mn=1m+n(1m+1n), получим
B=21501(1501+1502+…+11000).(2)
Тогда из равенств (1) и (2) следует, что [A/B]=[1501/2]=750.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.