қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Жалпы саны 60 болаты эльфтар мен троллдар дөңгелек стол басында отыр. Троллдар әрқашан өтірік айтады, ал эльфтар "қателескен" жағдайдан басқа жағдайда тек шындықты айтады. Әрбір отырған қонақ эльф пен тролл арасында отырғанын айтты және дәл екі эльф қателесті. Стол басында қанша тролл отыр?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $BD$ биссектрисасы жүргізілген, $D$ нүктесі $AC$ қабырғасында жатыр. $A$ және $C$ нүктелерінен $BD$ түзуіне жүргізілген биіктіктер табандары $E$ және $F$ нүктелері болсын. $DM$ түзуі $BC$ түзуіне перпендикуляр болатындай $BC$ қабырғасынан $M$ нүктесі алынған. $\angle EMD = \angle DMF$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $n$ — натурал сан, $p$ — жай сан және $(n+1)^p-n^p$ саны $q$ натурал санына қалдықсыз бөлінеді. $(q-1)$ саны $p$ санына қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық $f: [0, +\infty)\rightarrow [0, +\infty)$ функцияларын табыңыздар:
а) $x + y > 0$ болатын кез келген $x, y\in [0, +\infty)$ үшін $f\left( {xf(y)} \right) \cdot f(y) = f\left( {\dfrac{{xy}}{{x + y}}} \right)$ теңдігі орындалады;
б) $f(1) = 0$;
в) $f(x) > 0$ кез келген $x > 1$ үшін.
комментарий/решение(1)
а) $x + y > 0$ болатын кез келген $x, y\in [0, +\infty)$ үшін $f\left( {xf(y)} \right) \cdot f(y) = f\left( {\dfrac{{xy}}{{x + y}}} \right)$ теңдігі орындалады;
б) $f(1) = 0$;
в) $f(x) > 0$ кез келген $x > 1$ үшін.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $x^k+a_1x^{k-1}+a_2x^{k-2}+ \dots +a_k$ көпмүшелігінің $k$ әр түрлі нақты шешімдері бар, $k\geq 2$. $a_1^2 > \dfrac{2ka_2}{k-1}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышы берілген. $r$ — үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы,$r_a$ — центрі $BC$ қабырғасында жатып $AB$ және $AC$ қабырғаларын жанайтын жарты шеңбер радиусы болсын. $r_b$ және $r_c$ сандары дәл осылай анықталады. $2/r=1/r_a+1/r_b+1/r_c$ теңдігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Қалжыңбастау математик беттері
2-ден 400-ге дейін нөмірленген және төмендегідей оқу шарт бар кітап жазды: бірінші кітаптың соңғы бетін табамыз(400-ші) және > 1-ден 400-ге дейін ортақ бөлгіштері бар беттерді оқу керек(өсу ретімен). Осыдан кейін оқылмаған бетті алып осы операцияны қайталап > 1-ден 399-ге дейін ортақ бөлгіштері бар беттерді оқу керек және т.с.с. Осылайша келесі беттері оқылды: 2, 4, 5, $\ldots,$, 400, 3, 7, 9, $\ldots,$, 399, $\ldots$. Ең соңғы қай бет оқылады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Теңдеуді қанағаттандыратын барлық рационал $a$, $b$, $c$, $d$ төрттіктерін табыңыздар:
$$8a^2-3b^2 + 5c^2 + 16d^2-10ab + 42cd +18a + 22b-2c -54d =42,$$
$$15a^2 - 3b^2 + 21c^2 - 5d^2+ 4ab + 32cd- 28a +14b -54c -52d = - 22.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)