Областная олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Многочлен $x^k+a_1x^{k-1}+a_2x^{k-2}+ \dots +a_k$ имеет ровно $k$ различных корней, $k\geq 2$. Докажите, что $a_1^2>\frac{2ka_2}{k-1}$.

Комментарий/решение

По теореме Виета ${x_1} + {x_2} + \dots + {x_k} = - {a_1}$ и ${x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + \dots + {x_{k-1}}{x_k} = {a_2}$. Тогда

$$a_1^2 = {\left( {{x_1} + {x_2} + \dots + {x_k}} \right)^2} = \left( {x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_k^2} \right) +$$

$$+ 2\left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + \dots + {x_k}{x_{k - 1}}} \right),$$

откуда $a_1^2 = \left( {x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_k^2} \right) + 2{a_2}$. По неравенству Коши-Буняковского

$$k\left( {x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_k^2} \right) = \left( {{1^2} + {1^2} + \dots + {1^2}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_k^2} \right) \geq$$

$$\geq {\left( {{x_1} + {x_2} + \dots + {x_k}} \right)^2},$$

причем равенство не достигается, так как все корни различны. Откуда $k\left( {a_1^2 - 2{a_2}} \right) > a_1^2 \Leftrightarrow a_1^2>\frac{2ka_2}{k-1}$.