Областная олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Эльфы и тролли сидят за круглым столом, всего 60 существ. Тролли всегда лгут, эльфы говорят правду, кроме случаев, когда они «ошибаются». Каждый из сидящих утверждает, что сидит между эльфом и троллем, причем ровно два эльфа «ошиблись». Сколько троллей сидит за столом?
комментарий/решение(2)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$BD$ ,

$D$ лежит на стороне

$AC$ . Пусть

$E$ и

$F$ основания перпендикуляров, опущенных из точек

$A$ и

$C$ на прямую

$BD$ , соответственно.

$M$ — такая точка на стороне

$BC$ , что

$DM$ перпендикулярно

$BC$ . Докажите, что

$\angle EMD = \angle DMF$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$n$ — натуральное число,

$p$ — простое, причем

$(n+1)^p-n^p$ делится на некоторое натуральное число

$q$ . Докажите, что

$(q-1)$ делится на

$p$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все функции

$f: [0, +\infty)\rightarrow [0, +\infty)$ , которые удовлетворяют условиям:
а) для любых

$x, y\in [0, +\infty)$ с условием

$x + y > 0$ выполняется равенство

$f\left( {xf(y)} \right) \cdot f(y) = f\left( {\frac{{xy}}{{x + y}}} \right)$ ;
б)

$f(1) = 0$ ;
в)

$f(x) > 0$ для любого

$x > 1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Многочлен

$x^k+a_1x^{k-1}+a_2x^{k-2}+ \dots +a_k$ имеет ровно

$k$ различных корней,

$k\geq 2$ . Докажите, что

$a_1^2>\frac{2ka_2}{k-1}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Дан треугольник

$ABC$ . Пусть

$r$ — радиус вписанной в него окружности;

$r_a$ — радиус полуокружности с центром на стороне

$BC$ , касающейся сторон

$AB$ и

$AC$ . Аналогично определяются

$r_b$ и

$r_c$ . Докажите справедливость равенства

$2/r=1/r_a+1/r_b+1/r_c$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Чудаковатый математик написал книгу, страницы которой пронумерованы от 2 до 400 и читать которую следует так: сначала находим последнюю страницу (400-ю) и читаем страницы (по возрастанию) с номерами, которые имеют общие делители > 1 с 400. Затем берем последнюю из непрочитанных страниц и повторяем то же самое, то есть уже читаем страницы с номерами, имеющими общий делитель >1 с 399. Далее процесс повторяется с последней непрочитанной страницей и так далее. Итак, последовательно нами будут прочитаны страницы с номерами: 2, 4, 5,

$\dots$ , 400, 3, 7, 9,

$\dots$ , 399,

$\dots$ . Какая страница будет прочитана последней?
комментарий/решение(1)

Задача №8. Найдите все четверки рациональных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ , удовлетворяющие уравнениям:

$8a^2-3b^2 + 5c^2 + 16d^2-10ab + 42cd +18a + 22b-2c -54d =42$ ,

$15a^2 - 3b^2 + 21c^2 - 5d^2+ 4ab + 32cd- 28a +14b -54c -52d = - 22$ .
комментарий/решение(1)