Областная олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$, $D$ лежит на стороне $AC$.
Пусть $E$ и $F$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $C$ на
прямую $BD$, соответственно. $M$ — такая точка на стороне $BC$, что $DM$
перпендикулярно $BC$. Докажите, что $\angle EMD = \angle DMF$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пуст $X \in EM \cap AC$ и $Y \in DM \cap CF$.
Опустим высоту $BH$ из точки $B$ на сторону $AC$ и докажем что высота проходит через точку $X$, так как $\angle EAX = 90 - \angle \dfrac{\angle ABC}{2} - \angle BAC$ тогда как $\angle DBH = 90- \dfrac{\angle ABC}{2} - \angle BAC$ то есть $X$ совпадает с $H$ и проходит также через $Y$ .
Тогда $DBMX$ вписанный , откуда $\angle DME = \angle DBX = \angle DCF = \angle DMF$ .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.