Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ үшбұрышында $BD$ биссектрисасы жүргізілген, $D$ нүктесі $AC$ қабырғасында жатыр. $A$ және $C$ нүктелерінен $BD$ түзуіне жүргізілген биіктіктер табандары $E$ және $F$ нүктелері болсын. $DM$ түзуі $BC$ түзуіне перпендикуляр болатындай $BC$ қабырғасынан $M$ нүктесі алынған. $\angle EMD = \angle DMF$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пуст $X \in EM \cap AC$ и $Y \in DM \cap CF$.

Опустим высоту $BH$ из точки $B$ на сторону $AC$ и докажем что высота проходит через точку $X$, так как $\angle EAX = 90 - \angle \dfrac{\angle ABC}{2} - \angle BAC$ тогда как $\angle DBH = 90- \dfrac{\angle ABC}{2} - \angle BAC$ то есть $X$ совпадает с $H$ и проходит также через $Y$ .

Тогда $DBMX$ вписанный , откуда $\angle DME = \angle DBX = \angle DCF = \angle DMF$ .