Областная олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Эльфы и тролли сидят за круглым столом, всего 60 существ. Тролли всегда лгут, эльфы говорят правду, кроме случаев, когда они «ошибаются». Каждый из сидящих утверждает, что сидит между эльфом и троллем, причем ровно два эльфа «ошиблись». Сколько троллей сидит за столом?
комментарий/решение(5)

Задача №2. Пусть

$M$ — произвольная точка на меньшей из двух дуг

$CD$ описанной около квадрата

$ABCD$ окружности. Прямая

$AM$ пересекает

$BD$ и

$CD$ в точках

$P$ и

$R$ , соответственно. Прямая

$BM$ пересекает отрезки

$AC$ и

$DC$ в точках

$Q$ и

$S$ , соответственно. Докажите, что прямые

$PS$ и

$QR$ перпендикулярны.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Вещественная функция определена на [0,1] и удовлетворяет условию

$f(1/n)=(-1)^n$ для любого натурального

$n$ . Докажите, что

$f$ нельзя представить в виде разности возрастающих функций.
комментарий/решение

Задача №4. Пусть

$n$ — натуральное число,

$p$ — простое, причем

$(n+1)^p-n^p$ делится на некоторое натуральное число

$q$ . Докажите, что

$(q-1)$ делится на

$p$ .
комментарий/решение

Задача №5.

$*$ — операция, заданная на ненулевых действительных числах, удовлетворяющая условиям:
1)

$a * a = 1$ для любого

$a \neq 0$ ;
2)

$a * (b* c) = (a * b) c$ (

$a * b$ справа обычно умножается на

$c~$ ) для любых

$a\neq 0$ ,

$b\neq 0$ ,

$c\neq 0$ .
Решите уравнение

$x*36 = 216$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Дан треугольник

$ABC$ . Пусть

$r$ — радиус вписанной в него окружности;

$r_a$ — радиус полуокружности с центром на стороне

$BC$ , касающейся сторон

$AB$ и

$AC$ . Аналогично определяются

$r_b$ и

$r_c$ . Докажите справедливость равенства

$2/r=1/r_a+1/r_b+1/r_c$ .
комментарий/решение

Задача №7. Чудаковатый математик написал книгу, страницы которой пронумерованы от 2 до 400 и читать которую следует так: сначала находим последнюю страницу (400-ю) и читаем страницы (по возрастанию) с номерами, которые имеют общие делители > 1 с 400. Затем берем последнюю из непрочитанных страниц и повторяем то же самое, то есть уже читаем страницы с номерами, имеющими общий делитель >1 с 399. Далее процесс повторяется с последней непрочитанной страницей и так далее. Итак, последовательно нами будут прочитаны страницы с номерами: 2, 4, 5,

$\dots$ , 400, 3, 7, 9,

$\dots$ , 399,

$\dots$ . Какая страница будет прочитана последней?
комментарий/решение(1)

Задача №8.

$0 < a_1 < \dots < a_n$ — заданные числа. Решение неравенства

$\frac{{a_1 }} {{x + a_1 }} + \frac{{a_2 }} {{x + a_2 }} + \dots + \frac{{a_n }} {{x + a_n }} \geq 1$ составляет объединение нескольких непересекающихся промежутков. Найдите сумму их длин.
комментарий/решение(1)