Областная олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

Пусть $M$ — произвольная точка на меньшей из двух дуг $CD$ описанной около квадрата $ABCD$ окружности. Прямая $AM$ пересекает $BD$ и $CD$ в точках $P$ и $R$, соответственно. Прямая $BM$ пересекает отрезки $AC$ и $DC$ в точках $Q$ и $S$, соответственно. Докажите, что прямые $PS$ и $QR$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

Пусть BD и АС, PS и QR пересекаются в точке О и N соответственно. Заметим что <AMB=45. Мы знаем что углы BDC и ACD равны 45. Поэтому четырехугольники PSMD и QRMC вписанные. Заметим что углы BMC и AMD равны 45. Так как PSMD и QRMC вписанные поэтому углы PMD и PSD, QMC и QRC равны(<PMD=<PSD и <QMC=<QRC). Мы знаем что <QMC=<PMD=45. Поэтому <PSD=<QRC=45. Так как <PSD=<ОCD=45 и <QRC=<ОDC=45. То есть PS//ОC и QR//ОD. Отсюда выходит что <DOC=<RQC=<RNS. Так как ABCD квадрат, поэтому <DOC=90. То есть <DOC=<RNS=90. Что требовалось доказать.