қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2017, 10 класс, теоретический тур
Задача №1. (10,0 балла)
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла). В цилиндр с внутренним диаметром D=24 см вставлен невесомый поршень, под которым в равновесии содержится только вода и пар при температуре t0=100 ∘С. В начальный момент времени высота поршня над поверхностью воды составляет h0=20 см. Считайте, что температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной t0 с помощью термостата. Поршень вдвигают внутрь цилиндра так, что его высота над уровнем воды составляет h=10 см. Найдите количество теплоты Q, переданное термостату в этом процессе. Атмосферное давление p0=1,01⋅105 Па, давление насыщенного водяного пара при температуре t0=100 ∘С равно p0=1,01⋅105 Па, молярная масса воды μ=18⋅10−3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/(моль⋅К), теплоемкость воды c=4200 Дж/(кг⋅ ∘С), удельная теплота испарения воды L=2,26⋅106 Дж/кг. Теплоемкостью поршня пренебречь.
Часть 1B (3,5 баллов). Плоский конденсатор с прямоугольными пластинами, подключенный к источнику постоянного напряжения U=100 В, установлен в вертикальном положении так, что его пластины соприкасаются с водой, которая является диэлектрической жидкостью (см. рисунок). Диэлектрическая проницаемость воды ε=81, а плотность ρ=103 кг/м3. Расстояние между пластинами d=0,5 мм много меньше линейных размеров пластин. Определите установившуюся высоту h поднятия жидкости между пластинами. Ускорение свободного падения равно g=9,81 м/с2. Капиллярными эффектами пренебречь.
Часть 1С (3,5 баллов). Текст книги дважды фотографируется фотоаппаратом с объективом, фокусное расстояние, которого равно 50 см. Условия фотографирования следующие: 1) с наименьшего допустимого для этого объектива расстояния 0,5 м; 2) присоединив объектив к камере через удлинительное кольцо высотой 25 мм, также с минимального возможного в этом случае расстояния. Найдите отношение размеров изображений, полученных на фотопленке в этих двух случаях.
комментарий/решение
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла). В цилиндр с внутренним диаметром D=24 см вставлен невесомый поршень, под которым в равновесии содержится только вода и пар при температуре t0=100 ∘С. В начальный момент времени высота поршня над поверхностью воды составляет h0=20 см. Считайте, что температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной t0 с помощью термостата. Поршень вдвигают внутрь цилиндра так, что его высота над уровнем воды составляет h=10 см. Найдите количество теплоты Q, переданное термостату в этом процессе. Атмосферное давление p0=1,01⋅105 Па, давление насыщенного водяного пара при температуре t0=100 ∘С равно p0=1,01⋅105 Па, молярная масса воды μ=18⋅10−3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/(моль⋅К), теплоемкость воды c=4200 Дж/(кг⋅ ∘С), удельная теплота испарения воды L=2,26⋅106 Дж/кг. Теплоемкостью поршня пренебречь.
Часть 1B (3,5 баллов). Плоский конденсатор с прямоугольными пластинами, подключенный к источнику постоянного напряжения U=100 В, установлен в вертикальном положении так, что его пластины соприкасаются с водой, которая является диэлектрической жидкостью (см. рисунок). Диэлектрическая проницаемость воды ε=81, а плотность ρ=103 кг/м3. Расстояние между пластинами d=0,5 мм много меньше линейных размеров пластин. Определите установившуюся высоту h поднятия жидкости между пластинами. Ускорение свободного падения равно g=9,81 м/с2. Капиллярными эффектами пренебречь.
Часть 1С (3,5 баллов). Текст книги дважды фотографируется фотоаппаратом с объективом, фокусное расстояние, которого равно 50 см. Условия фотографирования следующие: 1) с наименьшего допустимого для этого объектива расстояния 0,5 м; 2) присоединив объектив к камере через удлинительное кольцо высотой 25 мм, также с минимального возможного в этом случае расстояния. Найдите отношение размеров изображений, полученных на фотопленке в этих двух случаях.
комментарий/решение
Задача №2. Полусфера (10,0 балла)
Небольшое тело массы m покоится на вершине полусферы радиуса R и массы M. Сама полусфера находится на горизонтальной поверхности. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения. Ускорение свободного падения равно g.
Часть 1. В этой части считайте, что сила трения между полусферой и горизонтальной плоскостью настолько велика, что полусфера все время остается неподвижной.
1.1 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемом углом α (см. рисунок), запишите уравнение второго закона Ньютона в проекциях на нормальное и тангенциальное направления траектории тела.
1.2 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемом углом α (см. рисунок), найдите скорость тела.
1.3 Используя результаты 1.1 и 1.2, найдите высоту над горизонтальной поверхностью, на которой тело оторвется от полусферы.
1.4 Найдите путь, который проходит тело до того места, в котором сила давления, действующая на горизонтальную поверхность со стороны полусферы, равна среднему арифметическому значению силы давления в начальный момент времени и в момент отрыва тела.
Часть 2. Пусть тело покоится на вершине полусферы, которая теперь может двигаться по горизонтальной поверхности без трения. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения и отрывается от полусферы на высоте H=7R/10.
2.1 Найдите отношение масс полусферы и тела M/m.
Часть 3. Пусть однородный шарик покоится на вершине полусферы, которая вновь жестко прикреплена к горизонтальной поверхности. Между шариком и поверхностью полусферы действует сила трения. В результате очень слабого толчка шарик начинает скатываться с вершины и на высоте H=4R/5 начинается его проскальзывание.
3.1 Найдите коэффициент трения μ шарика о поверхность полусферы.
комментарий/решение
Небольшое тело массы m покоится на вершине полусферы радиуса R и массы M. Сама полусфера находится на горизонтальной поверхности. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения. Ускорение свободного падения равно g.
Часть 1. В этой части считайте, что сила трения между полусферой и горизонтальной плоскостью настолько велика, что полусфера все время остается неподвижной.
1.1 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемом углом α (см. рисунок), запишите уравнение второго закона Ньютона в проекциях на нормальное и тангенциальное направления траектории тела.
1.2 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемом углом α (см. рисунок), найдите скорость тела.
1.3 Используя результаты 1.1 и 1.2, найдите высоту над горизонтальной поверхностью, на которой тело оторвется от полусферы.
1.4 Найдите путь, который проходит тело до того места, в котором сила давления, действующая на горизонтальную поверхность со стороны полусферы, равна среднему арифметическому значению силы давления в начальный момент времени и в момент отрыва тела.
Часть 2. Пусть тело покоится на вершине полусферы, которая теперь может двигаться по горизонтальной поверхности без трения. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения и отрывается от полусферы на высоте H=7R/10.
2.1 Найдите отношение масс полусферы и тела M/m.
Часть 3. Пусть однородный шарик покоится на вершине полусферы, которая вновь жестко прикреплена к горизонтальной поверхности. Между шариком и поверхностью полусферы действует сила трения. В результате очень слабого толчка шарик начинает скатываться с вершины и на высоте H=4R/5 начинается его проскальзывание.
3.1 Найдите коэффициент трения μ шарика о поверхность полусферы.
комментарий/решение
Задача №3. Заряженные частицы в магнитных полях (10,0 балла)
Часть 1. В природе существует материя и антиматерия, то есть у каждой частицы существует античастица. Например, для электрона античастицей является позитрон, который имеет все характеристики электрона, за исключением электрического заряда, который положителен и равен по абсолютной величине заряду электрона. Считать известными значение элементарного заряда e=1,6⋅10−19 Кл, массу электрона me=9,11⋅10−31 кг, а также диэлектрическую постоянную ε0=8,85⋅10−12 Ф/м.
1.1 Атом позитрония состоит из электрона и позитрона, вращающихся по круговым орбитам. Полная энергия позитрония в системе центра масс составляет E=−3,6 эВ. Найдите и рассчитайте угловую частоту вращения частиц ω0 и расстояние r между ними.
1.2 Атом позитрония помещают в однородное магнитное поле с индукцией B=150 Тл, направленной перпендикулярно плоскости их орбит. Считая при этом, что момент импульса позитрония остался неизменным, найдите и вычислите относительное изменение угловой частоты вращения частиц (ω−ω0)/ω0 в присутствии магнитного поля.
Часть 2. Назовем семейством траекторий частицы совокупность всех круговых орбит разного радиуса с совпадающим общим центром и одинаковым моментом импульса относительно него. Истинная траектория частицы называется устойчивой, если при небольшом ее возмущении в пределах семейства, к которому она относится, возникают силы, старающиеся восстановить начальную траекторию. Если восстанавливающая сила равна нулю, то такая траектория называется безразличной по отношению к малым возмущениям, а если суммарная сила старается дальше изменить радиус траектории в семействе, то она называется неустойчивой.
2.1 Электрон вращается по круговой орбите в однородном магнитном поле. Докажите, является ли устойчивой или неустойчивой круговая орбита электрона.
2.2 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите радиуса r0 и имеет момент импульса L относительно ее центра. Известно, что индукция магнитного поля вблизи орбиты линейно зависит от расстояния до ее центра, то есть B=C1r+C2, и что траектория электрона является безразличной по отношению к малым возмущениям. Определите константы C1 и C2.
2.3 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите и имеет момент импульса L так, что любая круговая траектория из семейства траекторий является безразличной по отношению к малым возмущениям. Найдите зависимость индукции магнитного поля от расстояния до центра орбиты r.
Часть 3.Частицу c удельным зарядом γ помещают в вертикальное гравитационное поле с ускорением свободного падения g и горизонтальное магнитное поле с индукцией B. В начальный момент времени частица отпускается из состояния покоя, а ее дальнейшая траектория представляет собой периодически повторяющийся участок, называемый циклоидой.
3.1 Найдите максимальную высоту h, на которую опускается частица относительно начального положения.
3.2 Найдите шаг s циклоиды, то есть расстояние между двумя соседними точками останова.
Часть 4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной a0 удерживаются три одинаковых частицы с зарядом q и массой m. Система находится в однородном магнитном поле индукции B, перпендикулярном плоскости треугольника. Заряды одновременно отпускают.
4.1 Найдите максимальное расстояние rmax между двумя частицами в процессе движения.
4.2 Найдите максимальный момент импульса L_{\max} системы в процессе движения.
комментарий/решение
Часть 1. В природе существует материя и антиматерия, то есть у каждой частицы существует античастица. Например, для электрона античастицей является позитрон, который имеет все характеристики электрона, за исключением электрического заряда, который положителен и равен по абсолютной величине заряду электрона. Считать известными значение элементарного заряда e=1,6⋅10−19 Кл, массу электрона me=9,11⋅10−31 кг, а также диэлектрическую постоянную ε0=8,85⋅10−12 Ф/м.
1.1 Атом позитрония состоит из электрона и позитрона, вращающихся по круговым орбитам. Полная энергия позитрония в системе центра масс составляет E=−3,6 эВ. Найдите и рассчитайте угловую частоту вращения частиц ω0 и расстояние r между ними.
1.2 Атом позитрония помещают в однородное магнитное поле с индукцией B=150 Тл, направленной перпендикулярно плоскости их орбит. Считая при этом, что момент импульса позитрония остался неизменным, найдите и вычислите относительное изменение угловой частоты вращения частиц (ω−ω0)/ω0 в присутствии магнитного поля.
Часть 2. Назовем семейством траекторий частицы совокупность всех круговых орбит разного радиуса с совпадающим общим центром и одинаковым моментом импульса относительно него. Истинная траектория частицы называется устойчивой, если при небольшом ее возмущении в пределах семейства, к которому она относится, возникают силы, старающиеся восстановить начальную траекторию. Если восстанавливающая сила равна нулю, то такая траектория называется безразличной по отношению к малым возмущениям, а если суммарная сила старается дальше изменить радиус траектории в семействе, то она называется неустойчивой.
2.1 Электрон вращается по круговой орбите в однородном магнитном поле. Докажите, является ли устойчивой или неустойчивой круговая орбита электрона.
2.2 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите радиуса r0 и имеет момент импульса L относительно ее центра. Известно, что индукция магнитного поля вблизи орбиты линейно зависит от расстояния до ее центра, то есть B=C1r+C2, и что траектория электрона является безразличной по отношению к малым возмущениям. Определите константы C1 и C2.
2.3 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите и имеет момент импульса L так, что любая круговая траектория из семейства траекторий является безразличной по отношению к малым возмущениям. Найдите зависимость индукции магнитного поля от расстояния до центра орбиты r.
Часть 3.Частицу c удельным зарядом γ помещают в вертикальное гравитационное поле с ускорением свободного падения g и горизонтальное магнитное поле с индукцией B. В начальный момент времени частица отпускается из состояния покоя, а ее дальнейшая траектория представляет собой периодически повторяющийся участок, называемый циклоидой.
3.1 Найдите максимальную высоту h, на которую опускается частица относительно начального положения.
3.2 Найдите шаг s циклоиды, то есть расстояние между двумя соседними точками останова.
Часть 4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной a0 удерживаются три одинаковых частицы с зарядом q и массой m. Система находится в однородном магнитном поле индукции B, перпендикулярном плоскости треугольника. Заряды одновременно отпускают.
4.1 Найдите максимальное расстояние rmax между двумя частицами в процессе движения.
4.2 Найдите максимальный момент импульса L_{\max} системы в процессе движения.
комментарий/решение