қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2017, 10 класс, теоретический тур
Задача №1. (10,0 балла)
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла). В цилиндр с внутренним диаметром $D=24$ см вставлен невесомый поршень, под которым в равновесии содержится только вода и пар при температуре $t_0=100$ $^{\circ}$С. В начальный момент времени высота поршня над поверхностью воды составляет $h_0=20$ см. Считайте, что температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной $t_0$ с помощью термостата. Поршень вдвигают внутрь цилиндра так, что его высота над уровнем воды составляет $h=10$ см. Найдите количество теплоты $Q$, переданное термостату в этом процессе. Атмосферное давление $p_0=1,01\cdot 10^5$ Па, давление насыщенного водяного пара при температуре $t_0=100$ $^{\circ}$С равно $p_0=1,01\cdot 10^5$ Па, молярная масса воды $\mu=18\cdot 10^{-3}$ кг/моль, универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$К), теплоемкость воды $c=4200$ Дж/(кг$\cdot$ $^{\circ}$С), удельная теплота испарения воды $L=2,26\cdot 10^6$ Дж/кг. Теплоемкостью поршня пренебречь.
Часть 1B (3,5 баллов). Плоский конденсатор с прямоугольными пластинами, подключенный к источнику постоянного напряжения $U=100$ В, установлен в вертикальном положении так, что его пластины соприкасаются с водой, которая является диэлектрической жидкостью (см. рисунок). Диэлектрическая проницаемость воды $\varepsilon=81$, а плотность $\rho=10^3$ кг/м$^3$. Расстояние между пластинами $d=0,5$ мм много меньше линейных размеров пластин. Определите установившуюся высоту $h$ поднятия жидкости между пластинами. Ускорение свободного падения равно $g=9,81$ м/с$^2$. Капиллярными эффектами пренебречь.
Часть 1С (3,5 баллов). Текст книги дважды фотографируется фотоаппаратом с объективом, фокусное расстояние, которого равно 50 см. Условия фотографирования следующие: 1) с наименьшего допустимого для этого объектива расстояния 0,5 м; 2) присоединив объектив к камере через удлинительное кольцо высотой 25 мм, также с минимального возможного в этом случае расстояния. Найдите отношение размеров изображений, полученных на фотопленке в этих двух случаях.
комментарий/решение
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3,0 балла). В цилиндр с внутренним диаметром $D=24$ см вставлен невесомый поршень, под которым в равновесии содержится только вода и пар при температуре $t_0=100$ $^{\circ}$С. В начальный момент времени высота поршня над поверхностью воды составляет $h_0=20$ см. Считайте, что температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной $t_0$ с помощью термостата. Поршень вдвигают внутрь цилиндра так, что его высота над уровнем воды составляет $h=10$ см. Найдите количество теплоты $Q$, переданное термостату в этом процессе. Атмосферное давление $p_0=1,01\cdot 10^5$ Па, давление насыщенного водяного пара при температуре $t_0=100$ $^{\circ}$С равно $p_0=1,01\cdot 10^5$ Па, молярная масса воды $\mu=18\cdot 10^{-3}$ кг/моль, универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$К), теплоемкость воды $c=4200$ Дж/(кг$\cdot$ $^{\circ}$С), удельная теплота испарения воды $L=2,26\cdot 10^6$ Дж/кг. Теплоемкостью поршня пренебречь.
Часть 1B (3,5 баллов). Плоский конденсатор с прямоугольными пластинами, подключенный к источнику постоянного напряжения $U=100$ В, установлен в вертикальном положении так, что его пластины соприкасаются с водой, которая является диэлектрической жидкостью (см. рисунок). Диэлектрическая проницаемость воды $\varepsilon=81$, а плотность $\rho=10^3$ кг/м$^3$. Расстояние между пластинами $d=0,5$ мм много меньше линейных размеров пластин. Определите установившуюся высоту $h$ поднятия жидкости между пластинами. Ускорение свободного падения равно $g=9,81$ м/с$^2$. Капиллярными эффектами пренебречь.
Часть 1С (3,5 баллов). Текст книги дважды фотографируется фотоаппаратом с объективом, фокусное расстояние, которого равно 50 см. Условия фотографирования следующие: 1) с наименьшего допустимого для этого объектива расстояния 0,5 м; 2) присоединив объектив к камере через удлинительное кольцо высотой 25 мм, также с минимального возможного в этом случае расстояния. Найдите отношение размеров изображений, полученных на фотопленке в этих двух случаях.
комментарий/решение
Задача №2. Полусфера (10,0 балла)
Небольшое тело массы $m$ покоится на вершине полусферы радиуса $R$ и массы $M$. Сама полусфера находится на горизонтальной поверхности. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения. Ускорение свободного падения равно $g$.
Часть 1. В этой части считайте, что сила трения между полусферой и горизонтальной плоскостью настолько велика, что полусфера все время остается неподвижной.
1.1 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемом углом $\alpha$ (см. рисунок), запишите уравнение второго закона Ньютона в проекциях на нормальное и тангенциальное направления траектории тела.
1.2 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемом углом $\alpha$ (см. рисунок), найдите скорость тела.
1.3 Используя результаты 1.1 и 1.2, найдите высоту над горизонтальной поверхностью, на которой тело оторвется от полусферы.
1.4 Найдите путь, который проходит тело до того места, в котором сила давления, действующая на горизонтальную поверхность со стороны полусферы, равна среднему арифметическому значению силы давления в начальный момент времени и в момент отрыва тела.
Часть 2. Пусть тело покоится на вершине полусферы, которая теперь может двигаться по горизонтальной поверхности без трения. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения и отрывается от полусферы на высоте $H=7R/10$.
2.1 Найдите отношение масс полусферы и тела $M/m$.
Часть 3. Пусть однородный шарик покоится на вершине полусферы, которая вновь жестко прикреплена к горизонтальной поверхности. Между шариком и поверхностью полусферы действует сила трения. В результате очень слабого толчка шарик начинает скатываться с вершины и на высоте $H=4R/5$ начинается его проскальзывание.
3.1 Найдите коэффициент трения $\mu$ шарика о поверхность полусферы.
комментарий/решение
Небольшое тело массы $m$ покоится на вершине полусферы радиуса $R$ и массы $M$. Сама полусфера находится на горизонтальной поверхности. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения. Ускорение свободного падения равно $g$.
Часть 1. В этой части считайте, что сила трения между полусферой и горизонтальной плоскостью настолько велика, что полусфера все время остается неподвижной.
1.1 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемом углом $\alpha$ (см. рисунок), запишите уравнение второго закона Ньютона в проекциях на нормальное и тангенциальное направления траектории тела.
1.2 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемом углом $\alpha$ (см. рисунок), найдите скорость тела.
1.3 Используя результаты 1.1 и 1.2, найдите высоту над горизонтальной поверхностью, на которой тело оторвется от полусферы.
1.4 Найдите путь, который проходит тело до того места, в котором сила давления, действующая на горизонтальную поверхность со стороны полусферы, равна среднему арифметическому значению силы давления в начальный момент времени и в момент отрыва тела.
Часть 2. Пусть тело покоится на вершине полусферы, которая теперь может двигаться по горизонтальной поверхности без трения. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения и отрывается от полусферы на высоте $H=7R/10$.
2.1 Найдите отношение масс полусферы и тела $M/m$.
Часть 3. Пусть однородный шарик покоится на вершине полусферы, которая вновь жестко прикреплена к горизонтальной поверхности. Между шариком и поверхностью полусферы действует сила трения. В результате очень слабого толчка шарик начинает скатываться с вершины и на высоте $H=4R/5$ начинается его проскальзывание.
3.1 Найдите коэффициент трения $\mu$ шарика о поверхность полусферы.
комментарий/решение
Задача №3. Заряженные частицы в магнитных полях (10,0 балла)
Часть 1. В природе существует материя и антиматерия, то есть у каждой частицы существует античастица. Например, для электрона античастицей является позитрон, который имеет все характеристики электрона, за исключением электрического заряда, который положителен и равен по абсолютной величине заряду электрона. Считать известными значение элементарного заряда $e=1,6\cdot 10^{-19}$ Кл, массу электрона $m_{e}=9,11\cdot 10^{-31}$ кг, а также диэлектрическую постоянную $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{-12}$ Ф/м.
1.1 Атом позитрония состоит из электрона и позитрона, вращающихся по круговым орбитам. Полная энергия позитрония в системе центра масс составляет $E=-3,6$ эВ. Найдите и рассчитайте угловую частоту вращения частиц $\omega_0$ и расстояние $r$ между ними.
1.2 Атом позитрония помещают в однородное магнитное поле с индукцией $B=150$ Тл, направленной перпендикулярно плоскости их орбит. Считая при этом, что момент импульса позитрония остался неизменным, найдите и вычислите относительное изменение угловой частоты вращения частиц $(\omega-\omega_0)/\omega_0$ в присутствии магнитного поля.
Часть 2. Назовем семейством траекторий частицы совокупность всех круговых орбит разного радиуса с совпадающим общим центром и одинаковым моментом импульса относительно него. Истинная траектория частицы называется устойчивой, если при небольшом ее возмущении в пределах семейства, к которому она относится, возникают силы, старающиеся восстановить начальную траекторию. Если восстанавливающая сила равна нулю, то такая траектория называется безразличной по отношению к малым возмущениям, а если суммарная сила старается дальше изменить радиус траектории в семействе, то она называется неустойчивой.
2.1 Электрон вращается по круговой орбите в однородном магнитном поле. Докажите, является ли устойчивой или неустойчивой круговая орбита электрона.
2.2 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите радиуса $r_0$ и имеет момент импульса $L$ относительно ее центра. Известно, что индукция магнитного поля вблизи орбиты линейно зависит от расстояния до ее центра, то есть $B=C_1 r+C_2$, и что траектория электрона является безразличной по отношению к малым возмущениям. Определите константы $C_1$ и $C_2$.
2.3 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите и имеет момент импульса $L$ так, что любая круговая траектория из семейства траекторий является безразличной по отношению к малым возмущениям. Найдите зависимость индукции магнитного поля от расстояния до центра орбиты $r$.
Часть 3.Частицу c удельным зарядом $\gamma$ помещают в вертикальное гравитационное поле с ускорением свободного падения $g$ и горизонтальное магнитное поле с индукцией $B$. В начальный момент времени частица отпускается из состояния покоя, а ее дальнейшая траектория представляет собой периодически повторяющийся участок, называемый циклоидой.
3.1 Найдите максимальную высоту $h$, на которую опускается частица относительно начального положения.
3.2 Найдите шаг $s$ циклоиды, то есть расстояние между двумя соседними точками останова.
Часть 4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной $a_0$ удерживаются три одинаковых частицы с зарядом $q$ и массой $m$. Система находится в однородном магнитном поле индукции $B$, перпендикулярном плоскости треугольника. Заряды одновременно отпускают.
4.1 Найдите максимальное расстояние $r_{\max}$ между двумя частицами в процессе движения.
4.2 Найдите максимальный момент импульса $L_{\max}$ системы в процессе движения.
комментарий/решение
Часть 1. В природе существует материя и антиматерия, то есть у каждой частицы существует античастица. Например, для электрона античастицей является позитрон, который имеет все характеристики электрона, за исключением электрического заряда, который положителен и равен по абсолютной величине заряду электрона. Считать известными значение элементарного заряда $e=1,6\cdot 10^{-19}$ Кл, массу электрона $m_{e}=9,11\cdot 10^{-31}$ кг, а также диэлектрическую постоянную $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{-12}$ Ф/м.
1.1 Атом позитрония состоит из электрона и позитрона, вращающихся по круговым орбитам. Полная энергия позитрония в системе центра масс составляет $E=-3,6$ эВ. Найдите и рассчитайте угловую частоту вращения частиц $\omega_0$ и расстояние $r$ между ними.
1.2 Атом позитрония помещают в однородное магнитное поле с индукцией $B=150$ Тл, направленной перпендикулярно плоскости их орбит. Считая при этом, что момент импульса позитрония остался неизменным, найдите и вычислите относительное изменение угловой частоты вращения частиц $(\omega-\omega_0)/\omega_0$ в присутствии магнитного поля.
Часть 2. Назовем семейством траекторий частицы совокупность всех круговых орбит разного радиуса с совпадающим общим центром и одинаковым моментом импульса относительно него. Истинная траектория частицы называется устойчивой, если при небольшом ее возмущении в пределах семейства, к которому она относится, возникают силы, старающиеся восстановить начальную траекторию. Если восстанавливающая сила равна нулю, то такая траектория называется безразличной по отношению к малым возмущениям, а если суммарная сила старается дальше изменить радиус траектории в семействе, то она называется неустойчивой.
2.1 Электрон вращается по круговой орбите в однородном магнитном поле. Докажите, является ли устойчивой или неустойчивой круговая орбита электрона.
2.2 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите радиуса $r_0$ и имеет момент импульса $L$ относительно ее центра. Известно, что индукция магнитного поля вблизи орбиты линейно зависит от расстояния до ее центра, то есть $B=C_1 r+C_2$, и что траектория электрона является безразличной по отношению к малым возмущениям. Определите константы $C_1$ и $C_2$.
2.3 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите и имеет момент импульса $L$ так, что любая круговая траектория из семейства траекторий является безразличной по отношению к малым возмущениям. Найдите зависимость индукции магнитного поля от расстояния до центра орбиты $r$.
Часть 3.Частицу c удельным зарядом $\gamma$ помещают в вертикальное гравитационное поле с ускорением свободного падения $g$ и горизонтальное магнитное поле с индукцией $B$. В начальный момент времени частица отпускается из состояния покоя, а ее дальнейшая траектория представляет собой периодически повторяющийся участок, называемый циклоидой.
3.1 Найдите максимальную высоту $h$, на которую опускается частица относительно начального положения.
3.2 Найдите шаг $s$ циклоиды, то есть расстояние между двумя соседними точками останова.
Часть 4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной $a_0$ удерживаются три одинаковых частицы с зарядом $q$ и массой $m$. Система находится в однородном магнитном поле индукции $B$, перпендикулярном плоскости треугольника. Заряды одновременно отпускают.
4.1 Найдите максимальное расстояние $r_{\max}$ между двумя частицами в процессе движения.
4.2 Найдите максимальный момент импульса $L_{\max}$ системы в процессе движения.
комментарий/решение