Республиканская олимпиада по физике 2017, 10 класс, теоретический тур

Полусфера (10,0 балла)
Небольшое тело массы $m$ покоится на вершине полусферы радиуса $R$ и массы $M$. Сама полусфера находится на горизонтальной поверхности. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения. Ускорение свободного падения равно $g$.

Часть 1. В этой части считайте, что сила трения между полусферой и горизонтальной плоскостью настолько велика, что полусфера все время остается неподвижной.
1.1 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемом углом $\alpha$ (см. рисунок), запишите уравнение второго закона Ньютона в проекциях на нормальное и тангенциальное направления траектории тела.
1.2 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемом углом $\alpha$ (см. рисунок), найдите скорость тела.
1.3 Используя результаты 1.1 и 1.2, найдите высоту над горизонтальной поверхностью, на которой тело оторвется от полусферы.
1.4 Найдите путь, который проходит тело до того места, в котором сила давления, действующая на горизонтальную поверхность со стороны полусферы, равна среднему арифметическому значению силы давления в начальный момент времени и в момент отрыва тела.
Часть 2. Пусть тело покоится на вершине полусферы, которая теперь может двигаться по горизонтальной поверхности без трения. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения и отрывается от полусферы на высоте $H=7R/10$.
2.1 Найдите отношение масс полусферы и тела $M/m$.
Часть 3. Пусть однородный шарик покоится на вершине полусферы, которая вновь жестко прикреплена к горизонтальной поверхности. Между шариком и поверхностью полусферы действует сила трения. В результате очень слабого толчка шарик начинает скатываться с вершины и на высоте $H=4R/5$ начинается его проскальзывание.
3.1 Найдите коэффициент трения $\mu$ шарика о поверхность полусферы.