қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2017, 9 класс, теоретический тур
Задача №1. «Солянка» (10 балла)
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3 балла). Корабль движется в водоеме со скоростью $\vartheta=10$ м/с так, что наблюдается так называемая "носовая" $\hspace{1px}$ волна, смотрите фотографию на рисунке внизу и слева. На том же рисунке внизу и справа схематически показана эта же волна с соблюдением масштаба. Найдите скорость распространения волн $\vartheta_{\text{в}}$ по поверхности водоема.
комментарий/решение
Эта задача состоит из трех независимых частей.
Часть 1А (3 балла). Корабль движется в водоеме со скоростью $\vartheta=10$ м/с так, что наблюдается так называемая "носовая" $\hspace{1px}$ волна, смотрите фотографию на рисунке внизу и слева. На том же рисунке внизу и справа схематически показана эта же волна с соблюдением масштаба. Найдите скорость распространения волн $\vartheta_{\text{в}}$ по поверхности водоема.
комментарий/решение
Задача №2. Полусфера (10 балла)
Небольшое тело массы $m$ покоится на вершине полусферы радиуса $R$ и массы $M$. Сама полусфера находится на горизонтальной поверхности. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения. Ускорение свободного падения равно $g$.
Часть 1.
В этой части считайте, что сила трения между полусферой и горизонтальной плоскостью настолько велика, что полусфера все время остается неподвижной.
1.1 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемым углом $\alpha$ (см. рисунок), запишите уравнение второго закона Ньютона в проекциях на нормальное и тангенциальное направления траектории тела.
1.2 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемым углом $\alpha$ (см. рисунок), найдите скорость тела.
1.3 Используя результаты 1.1 и 1.2, найдите высоту над горизонтальной поверхностью, на которой тело оторвется от полусферы.
1.4 Найдите путь, который проходит тело до того места, в котором сила давления, действующая на горизонтальную поверхность со стороны полусферы, равна среднему арифметическому значению силы давления в начальный момент времени и в момент отрыва тела.
Часть 2.
В этой части в начальный момент времени, когда тело находится на вершине, полусферу начинают двигать с некоторым постоянным горизонтальным ускорением $a$.
2.1 Найдите $a$ если известно, что отрыв тела от полусферы произошел на высоте $h=4R/5$ от горизонтальной поверхности.
Часть 3.
Пусть снова тело покоится на вершине полусферы, которая теперь может свободно двигаться по горизонтальной поверхности без трения. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения и отрывается от полусферы на высоте $H=5R/6$.
3.1 Найдите отношение масс полусферы и тела $M/m$.
комментарий/решение
Небольшое тело массы $m$ покоится на вершине полусферы радиуса $R$ и массы $M$. Сама полусфера находится на горизонтальной поверхности. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения. Ускорение свободного падения равно $g$.
Часть 1.
В этой части считайте, что сила трения между полусферой и горизонтальной плоскостью настолько велика, что полусфера все время остается неподвижной.
1.1 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемым углом $\alpha$ (см. рисунок), запишите уравнение второго закона Ньютона в проекциях на нормальное и тангенциальное направления траектории тела.
1.2 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемым углом $\alpha$ (см. рисунок), найдите скорость тела.
1.3 Используя результаты 1.1 и 1.2, найдите высоту над горизонтальной поверхностью, на которой тело оторвется от полусферы.
1.4 Найдите путь, который проходит тело до того места, в котором сила давления, действующая на горизонтальную поверхность со стороны полусферы, равна среднему арифметическому значению силы давления в начальный момент времени и в момент отрыва тела.
Часть 2.
В этой части в начальный момент времени, когда тело находится на вершине, полусферу начинают двигать с некоторым постоянным горизонтальным ускорением $a$.
2.1 Найдите $a$ если известно, что отрыв тела от полусферы произошел на высоте $h=4R/5$ от горизонтальной поверхности.
Часть 3.
Пусть снова тело покоится на вершине полусферы, которая теперь может свободно двигаться по горизонтальной поверхности без трения. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения и отрывается от полусферы на высоте $H=5R/6$.
3.1 Найдите отношение масс полусферы и тела $M/m$.
комментарий/решение
Задача №3. Трехполюсники (10 балла)
На рисунке ниже показаны две схемы сопротивлений, называемых трехполюсниками, так как каждая из них содержит три точки подключения, обозначенные $A$, $B$ и $C$. Одна из схем называется $"$звездочка$"$, другая — $"$треугольник$"$.
1.1 Считая сопротивления $R_1$, $R_2$ и $R_3$ известными, найдите сопротивление в схеме $"$звездочка$"$, если источник тока подключить к точкам $A$ и $B$.
1.2 Считая сопротивления $r_1$, $r_2$ и $r_3$ известными, найдите сопротивление в схеме $"$треугольник$"$, если источник тока подключить к точкам $A$ и $B$.
1.3 Пусть значения сопротивлений в схеме $"$звездочка$"$ равны соответственно $R_1=6$ Ом, $R_2=12$ Ом, $R_3=18$ Ом. Найдите общее выражение и рассчитайте такие $r_1$, $r_2$ и $r_3$, чтобы схемы $"$звездочка$"$ и $"$треугольник$"$ были полностью эквивалентными при любом способе подключения этих схем (с учетом обозначения точек подключения) к источникам постоянного напряжения и другим сопротивлениям;
1.4 Найдите общее электрическое сопротивление $R_{AB}$ между точками $A$ и $B$ в схеме, приведенной ниже.
Часть 2.
Шесть резисторов $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$, $r_5$ и $r_6$ соединены в более сложный трехполюсник, полученный комбинацией схем $"$звездочка$"$ и $"$треугольник$"$, показанный на рисунке ниже.
2.1 Считая, что все сопротивления одинаковы и равны $r$, найдите общее $R_1$ сопротивление между точками $A$ и $B$.
2.2 Считая, что все сопротивления одинаковы и равны $r$, и что резистор $r_3$ закорочен, найдите общее $R_2$ сопротивление между точками $A$ и $B$.
2.3 Считая, что все сопротивления одинаковы и равны $r$, и что точки $A$ и $C$ закорочены, найдите общее сопротивление $R_3$ между точками $A$ и $B$.
Пусть все резисторы в той же схеме имеют разные сопротивления 1, 2, 3, 4, 5 и 6 Ом, но неизвестно, какие из них и на каком месте в схеме они находятся. Оказалось, что сопротивление между точками $A$ и $B$ в точности равно $R_{AB}=\frac{94}{13}$ Ом.
2.4 Найдите величину $r_1+r_2+r_3$.
2.5 Продемонстрируйте, что сопротивление $R_{AB}$ можно представить в виде $$R_{AB}=n_1+p,$$ где $p=n_2(13-n_2)/13$, а $n_1$, $n_2$ — целые числа.
2.6 Рассчитайте все возможные значения $p$ и соответствующие им значения $r_3$.
2.7 Найдите значение сопротивления $r_3$.
комментарий/решение
На рисунке ниже показаны две схемы сопротивлений, называемых трехполюсниками, так как каждая из них содержит три точки подключения, обозначенные $A$, $B$ и $C$. Одна из схем называется $"$звездочка$"$, другая — $"$треугольник$"$.
1.1 Считая сопротивления $R_1$, $R_2$ и $R_3$ известными, найдите сопротивление в схеме $"$звездочка$"$, если источник тока подключить к точкам $A$ и $B$.
1.2 Считая сопротивления $r_1$, $r_2$ и $r_3$ известными, найдите сопротивление в схеме $"$треугольник$"$, если источник тока подключить к точкам $A$ и $B$.
1.3 Пусть значения сопротивлений в схеме $"$звездочка$"$ равны соответственно $R_1=6$ Ом, $R_2=12$ Ом, $R_3=18$ Ом. Найдите общее выражение и рассчитайте такие $r_1$, $r_2$ и $r_3$, чтобы схемы $"$звездочка$"$ и $"$треугольник$"$ были полностью эквивалентными при любом способе подключения этих схем (с учетом обозначения точек подключения) к источникам постоянного напряжения и другим сопротивлениям;
1.4 Найдите общее электрическое сопротивление $R_{AB}$ между точками $A$ и $B$ в схеме, приведенной ниже.
Часть 2.
Шесть резисторов $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$, $r_5$ и $r_6$ соединены в более сложный трехполюсник, полученный комбинацией схем $"$звездочка$"$ и $"$треугольник$"$, показанный на рисунке ниже.
2.1 Считая, что все сопротивления одинаковы и равны $r$, найдите общее $R_1$ сопротивление между точками $A$ и $B$.
2.2 Считая, что все сопротивления одинаковы и равны $r$, и что резистор $r_3$ закорочен, найдите общее $R_2$ сопротивление между точками $A$ и $B$.
2.3 Считая, что все сопротивления одинаковы и равны $r$, и что точки $A$ и $C$ закорочены, найдите общее сопротивление $R_3$ между точками $A$ и $B$.
Пусть все резисторы в той же схеме имеют разные сопротивления 1, 2, 3, 4, 5 и 6 Ом, но неизвестно, какие из них и на каком месте в схеме они находятся. Оказалось, что сопротивление между точками $A$ и $B$ в точности равно $R_{AB}=\frac{94}{13}$ Ом.
2.4 Найдите величину $r_1+r_2+r_3$.
2.5 Продемонстрируйте, что сопротивление $R_{AB}$ можно представить в виде $$R_{AB}=n_1+p,$$ где $p=n_2(13-n_2)/13$, а $n_1$, $n_2$ — целые числа.
2.6 Рассчитайте все возможные значения $p$ и соответствующие им значения $r_3$.
2.7 Найдите значение сопротивления $r_3$.
комментарий/решение