Республиканская олимпиада по физике 2017, 9 класс, теоретический тур

Полусфера (10 балла)
Небольшое тело массы $m$ покоится на вершине полусферы радиуса $R$ и массы $M$. Сама полусфера находится на горизонтальной поверхности. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения. Ускорение свободного падения равно $g$.

Часть 1.
В этой части считайте, что сила трения между полусферой и горизонтальной плоскостью настолько велика, что полусфера все время остается неподвижной.
1.1 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемым углом $\alpha$ (см. рисунок), запишите уравнение второго закона Ньютона в проекциях на нормальное и тангенциальное направления траектории тела.
1.2 Для некоторого положения тела на полусфере, определяемым углом $\alpha$ (см. рисунок), найдите скорость тела.
1.3 Используя результаты 1.1 и 1.2, найдите высоту над горизонтальной поверхностью, на которой тело оторвется от полусферы.
1.4 Найдите путь, который проходит тело до того места, в котором сила давления, действующая на горизонтальную поверхность со стороны полусферы, равна среднему арифметическому значению силы давления в начальный момент времени и в момент отрыва тела.
Часть 2.
В этой части в начальный момент времени, когда тело находится на вершине, полусферу начинают двигать с некоторым постоянным горизонтальным ускорением $a$.
2.1 Найдите $a$ если известно, что отрыв тела от полусферы произошел на высоте $h=4R/5$ от горизонтальной поверхности.
Часть 3.
Пусть снова тело покоится на вершине полусферы, которая теперь может свободно двигаться по горизонтальной поверхности без трения. В результате очень слабого толчка тело начинает соскальзывать с вершины без трения и отрывается от полусферы на высоте $H=5R/6$.
3.1 Найдите отношение масс полусферы и тела $M/m$.