Республиканская олимпиада по физике 2014, 10 класс, теоретический тур

Задача №1. (9.0 балла)
Эта задача состоит из двух независимых частей.
Часть А (4.0 балла) В теплоизолированном цилиндре с поршнем находится в равновесии

$10$ г льда,

$3$ г воды и

$2$ г водяного пара. Вдвигая поршень, объём сосуда уменьшают вдвое.

1) Определите новый равновесный состав смеси;
2) Изобразите качественную зависимость масс компонентов смеси со временем для двух случаев: поршень вдвигается медленно; поршень вдвигается быстро;
Удельная теплоёмкость льда

$c=2,09$ кДж/(кг

$\cdot$ К;
Удельная теплоёмкость воды

$c=4,19$ кДж/(кг

$\cdot$ К);
Удельная теплота плавления льда

$\lambda=335$ кДж/кг;
Удельная теплота парообразования воды (при

$t=0^{\circ}C$ )

$r= 2.49$ МДж/кг.
Часть Б (5.0 балла) В плоский прямоугольный конденсатор емкости

$C$ вставлена диэлектрическая пластина с проницаемостью

$\varepsilon$ и массой

$M$ , которая может скользить по пластинам без трения. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения

$U$ . В какой-то момент времени в диэлектрик попадает пуля массы

$m$ и застревает в нем. Длина пластин конденсатора в направлении движения пули равна

$h$ , а размерами самой пули можно пренебречь.

1) При какой минимальной начальной скорости движения пули она сможет выбить диэлектрик из конденсатора? 2) За какое время при этом диэлектрическая пластина покинет конденсатор?
комментарий/решение

Задача №2. Нелинейная нитка (10.0 балла)
Нитка сделана из резины, которая может растягиваться до длин

$l$ , значительно превышающих ее начальную длину

$l_0$ . У подобной резинки сохраняется ее полный объем.

Выразите площадь поперечного сечения $S$ резинки в деформированном состоянии через ее длину $l$ и ее начальные размеры $l_0$ , $S_0$ ;
При малых деформациях резинки сила натяжения $F$ и ее удлинение $x$ связаны законом Гука $F=k_0x$ , где начальная жесткость равна $k_0=E_0S_0/l_0$ , а $E_0$ — так называемый модуль Юнга. При больших деформациях резинки $l\gg l_0$ закон Гука перестает соблюдаться, а вместо этого выполняется закон $F(l)=a+\frac{b}{l}$ . Выразите постоянные $a$ и $b$ через $l_0, S_0$ и $E_0$ .
Предположим, что резинка растянута некоторой силой до длины $l$ . Малое изменение $\Delta F$ растягивающей силы приводит к малому изменению ее длины $\Delta l\ll l$ . Выразите $\Delta F$ через $l,l_0,E_0$ и $\Delta l$ .
Предположим, что к одному из концов резинки присоединено маленькое тело и вся система приведена во вращение относительно другого ее конца. Предполагая движение тела круговым, выразите длину резинки $l$ через кинетическую энергию тела $K$ и через $l_0,S_0,E_0$ .
Проанализируем малые возмущения кругового движения тела из предыдущего пункта. Будем описывать движение системы изменением ее длины $r(t)=l(t)-l(0)$ , радиальной $\vartheta_{r}(t)$ и тангенциальной $\vartheta_{t}$ скоростями тела (это компоненты скорости соответственно параллельные и перпендикулярные резинки). Обозначим начальные величины как $L=l(0)$ , $V_r=\vartheta_r(0)$ и $V_1=\vartheta_1(0)$ . Запишите два уравнения, связывающие между собой $r(t)$ , $\vartheta_r(t)$ и $\vartheta_t(t)$ . В уравнениях используйте следующие величины: масса тела $m$ , а также $L$ , $V_r$ , $V_t$ , $l_0$ , $S_0$ , $E_0$ .
Предполагая $r\ll l$ , найдите соотношение между $r(t)$ и $\vartheta_r(t)$ , которое также содержит $m$ , $L$ , $V_r$ , $V_t$ , $l_0$ , $S_0$ , $E_0$ . Найдите период $T$ малых осцилляций $r(t)$ . Упростите выражение для $T$ при $L\gg l_0$ .

Подсказка. Вам могут понадобиться следующие формулы:

$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$ , при

$x\ll1$ ,

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}$ , при

$x\ll1$ ,

$\int \frac{dx}{x}=\ln x+C$ , где

$C$ — некоторая постоянная.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Нелинейный резистор (11.0 балла)
Эксперименты показали, что некоторый нелинейный резистор обладает следующими свойствами. При постепенном повышении температуры до

$T_1= 100^{\circ}$ С его сопротивление скачком изменяется от

$R_1=50$ до

$R_2=100$ Ом, а обратный скачок сопротивления наблюдается при более низкой температуре, равной

$T_2=90^{\circ}$ С. Теплоемкость резистора была измерена отдельно и оказалась равной

$C=4$ Дж/К.
В начальный момент времени

$t=0$ температура резистора равна

$T_0=20^{\circ}$ С и к нему подключают источник питания напряжением

$U=10$ В. Чтобы резистор не перегрелся и не расплавился, его обдувают вентилятором, который обеспечивает отвод тепла от резистора с постоянной скоростью

$P_{Q}=4$ Дж/с. Вентилятор обладает термическим датчиком и таймером, которые работают следующим образом. Как только температура резистора достигает значения

$T_\text{cr}=110^{\circ}$ С, срабатывает термический датчик, который включает вентилятор на время, равное

$\tau=1.5$ мин.

Определите момент времени $t_1$ , когда произойдет первый скачок сопротивления резистора;
Определите момент времени $t_2$ , когда произойдет первое включение вентилятора;
С течением времени в системе возникают периодические изменения температуры. Найдите минимальное значение температуры $T_{\min}$ резистора в этих колебаниях;
Чему равен период $\tau_0$ установившихся колебаний температуры?
Какое количество джоулева тепла $Q$ выделяется на резисторе за один период колебаний?
Нарисуйте график зависимости температуры резистора $T$ от времени $t$ с момента $t=0$ до завершения второго периода колебаний.

комментарий/решение