Республиканская олимпиада по физике 2014, 10 класс, теоретический тур

Бейсызық жіп (10.0 ұпай) Жіп бастапқы $l_0$ ұзындығыннан анағұрлым көп болатын, $l$ ұзындығына дейін созыла алатын резеңкеден жасалған. Осы тәрізді резеңкенің толық көлемі сақталады.
А) Деформацияланған күйіндегі резеңкенің $S$ көлденең қимасының ауданын оның $l$ ұзындығы мен оның бастапқы $l_0$, $S_0$ өлшемдері арқылы өрнектеңіз;
Б) Резеңкені аз деформациялаған кездегі керілу күші $F$ және оның ұзаруы $x$ Гук заңымен $F=k_0x$ байланысқан, мұндағы $k_0=E_0S_0/l_0$ бастапқы қатаңдыққа тең, ал $E_0$ — Юнг модулі деп аталады. Резеңкені көп деформацияланғанда $l\gg l_0$ Гук заңы орындалмайды, оның орнына $F(l)=a+\frac{b}{l}$ заңы орындалады. $a$ және $b$ тұрақтыларын $l_0$, $S_0$ және $E_0$ арқылы өрнектеңіз;
В) Қандай-да бір күш арқылы резеңке $l$ ұзындыққа дейін соғылған деп есептейік. Керілу күшінің $\Delta F$ аз ғана өзгерісі оның ұзындығының $\Delta l\ll l$ аз ғана өзгеруіне әкеледі. $\Delta F$-ті $l$, $l_0$, $E_0$ және $\Delta l$ арқылы өрнектеңіз;
Г) Резеңкенің бір ұшына бір кішкентай дене бекітілген деп есептейік және де жалпы қарастырып отырған жүйеміз екінші ұшына қатысты айналысқа келтірілген делік. Дененің қозғалысы айналмалы деп ескеріп, резеңкенің $l$ ұзындығын $l_0$, $S_0$, $E_0$ және дененің $K$ кинетикалық энергиясы арқылы өрнектеңіз.
Д) Алдыңғы пункта қарастырған дененің айналмалы қозғалысының кішкентай ауытқуын сараптайық. Жүйе қозғалысын оның ұзындығының $r(t)=l(t)-l(0)$ өзгерісімен, дененің $\vartheta_{r}(t)$ радиальды және $\vartheta_{t}(t)$ тангенциальды жылдамдықтарының (бұл жылдамдықтың компоненталары сәйкесінше параллель және перпендикуляр резинкалар) өзгерістерімен сипаттайтын боламыз. Алғашқы шамаларды $L=l(0)$, $V_r=\vartheta_r(0)$ және $V_t=\vartheta_t(0)$ деп белгілеп аламыз. Өзара $r(t)$, $\vartheta_r(t)$ және $\vartheta_t(t)$-ларды бір бірімен байланыстыратын екі теңдеу жазыңыз. Теңдеулерде келесі шамаларды пайдаланыңыз: дененің массасы $m$, және де $L$, $V_r$, $V_t$, $l_0$, $S_0$, $E_0$;
Е) $r\ll l$ деп есептеп, $m$, $L$, $V_r$, $V_t$, $l_0$, $S_0$, $E_0$ шамалары арқылы өрнектелетіндей етіп $r(t)$ және $\vartheta_r(t)$ арасындағы қатынасты табыңыз. Аздаған осцилляция $r(t)$ кезіндегі $T$ периодты табыңыз. $L\gg l_0$ кезіндегі $T$ үшін өрнекті ықшамдаңыз. Ескерту. Сізге келесі формулалар керек болуы мүмкін:
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$, егер $x\ll1$ болса,
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}$, егер $x\ll1$ болса,
$\int \frac{dx}{x}=\ln x+C$, мұндағы $C$ — қандай-да бір тұрақты.

Комментарий/решение

1. Площадь поперечного сечения $S$ в деформированном состоянии выражается через начальные размеры и длину следующим образом:

$$S = S_0 \left(\frac{l}{l_0}\right)^2$$

2. Постоянные $a$ и $b$ для закона $F(l) = a + b l$ выражаются следующим образом:

$$a = k_0 - b l_0$$

$$b = \frac{S_0}{l_0}$$

3. Малое изменение $\Delta F$ связано с малым изменением длины $\Delta l$ следующим образом:

$$\Delta F = k_0 \Delta l$$

4. Длина резинки $l$ при круговом движении тела связана с его кинетической энергией $K$ следующим образом:

$$l = \sqrt{\frac{2K}{E_0 S_0}} + l_0$$

5. Уравнения для $r(t)$, $\theta_r(t)$ и $\theta_t(t)$ при движении системы вращающегося тела:

$$r(t) = l(t) - l_0$$

$$\theta_r(t) = \theta_r(0) + \frac{V_r}{L}t$$

$$\theta_t(t) = \theta_t(0) + \frac{V_t}{L}t$$

6. Соотношение между $r(t)$ и $\theta_r(t)$ при $r \ll l$:

$$r(t) = \frac{L}{2} \left(1 - \cos(\theta_r(t))\right)$$

Период $T$ малых осцилляций:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{mL^2}{2E_0 S_0}}$$