Республиканская олимпиада по физике 2014, 10 класс, теоретический тур

Нелинейная нитка (10.0 балла)
Нитка сделана из резины, которая может растягиваться до длин $l$, значительно превышающих ее начальную длину $l_0$. У подобной резинки сохраняется ее полный объем.

1. Выразите площадь поперечного сечения $S$ резинки в деформированном состоянии через ее длину $l$ и ее начальные размеры $l_0$, $S_0$;
2. При малых деформациях резинки сила натяжения $F$ и ее удлинение $x$ связаны законом Гука $F=k_0x$, где начальная жесткость равна $k_0=E_0S_0/l_0$, а $E_0$ — так называемый модуль Юнга. При больших деформациях резинки $l\gg l_0$ закон Гука перестает соблюдаться, а вместо этого выполняется закон $F(l)=a+\frac{b}{l}$. Выразите постоянные $a$ и $b$ через $l_0, S_0$ и $E_0$.
3. Предположим, что резинка растянута некоторой силой до длины $l$. Малое изменение $\Delta F$ растягивающей силы приводит к малому изменению ее длины $\Delta l\ll l$. Выразите $\Delta F$ через $l,l_0,E_0$ и $\Delta l$.
4. Предположим, что к одному из концов резинки присоединено маленькое тело и вся система приведена во вращение относительно другого ее конца. Предполагая движение тела круговым, выразите длину резинки $l$ через кинетическую энергию тела $K$ и через $l_0,S_0,E_0$.
5. Проанализируем малые возмущения кругового движения тела из предыдущего пункта. Будем описывать движение системы изменением ее длины $r(t)=l(t)-l(0)$, радиальной $\vartheta_{r}(t)$ и тангенциальной $\vartheta_{t}$ скоростями тела (это компоненты скорости соответственно параллельные и перпендикулярные резинки). Обозначим начальные величины как $L=l(0)$,$V_r=\vartheta_r(0)$ и $V_1=\vartheta_1(0)$. Запишите два уравнения, связывающие между собой $r(t)$, $\vartheta_r(t)$ и $\vartheta_t(t)$. В уравнениях используйте следующие величины: масса тела $m$, а также $L$, $V_r$, $V_t$, $l_0$, $S_0$, $E_0$.
6. Предполагая $r\ll l$, найдите соотношение между $r(t)$ и $\vartheta_r(t)$, которое также содержит $m$, $L$, $V_r$, $V_t$, $l_0$, $S_0$, $E_0$. Найдите период $T$ малых осцилляций $r(t)$. Упростите выражение для $T$ при $L\gg l_0$.

Подсказка. Вам могут понадобиться следующие формулы:
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$, при $x\ll1$,
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}$, при $x\ll1$,
$\int \frac{dx}{x}=\ln x+C$, где $C$ — некоторая постоянная.

Комментарий/решение

1. Площадь поперечного сечения $S$ в деформированном состоянии выражается через начальные размеры и длину следующим образом:

$$S = S_0 \left(\frac{l}{l_0}\right)^2$$

2. Постоянные $a$ и $b$ для закона $F(l) = a + b l$ выражаются следующим образом:

$$a = k_0 - b l_0$$

$$b = \frac{S_0}{l_0}$$

3. Малое изменение $\Delta F$ связано с малым изменением длины $\Delta l$ следующим образом:

$$\Delta F = k_0 \Delta l$$

4. Длина резинки $l$ при круговом движении тела связана с его кинетической энергией $K$ следующим образом:

$$l = \sqrt{\frac{2K}{E_0 S_0}} + l_0$$

5. Уравнения для $r(t)$, $\theta_r(t)$ и $\theta_t(t)$ при движении системы вращающегося тела:

$$r(t) = l(t) - l_0$$

$$\theta_r(t) = \theta_r(0) + \frac{V_r}{L}t$$

$$\theta_t(t) = \theta_t(0) + \frac{V_t}{L}t$$

6. Соотношение между $r(t)$ и $\theta_r(t)$ при $r \ll l$:

$$r(t) = \frac{L}{2} \left(1 - \cos(\theta_r(t))\right)$$

Период $T$ малых осцилляций:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{mL^2}{2E_0 S_0}}$$