Республиканская олимпиада по физике 2012, 11 класс, теоретический тур

Есеп №1.  Үстел үстіндегі шар (8 ұпай)
Массасы $m$ кішкене дене массасы $M$ радиусы $R$ іші қуыс шардың ішкі бетінде орналасқан. Уақыттың бастапқы мезетінде дене мен шардың жылдамдықтары нольге тең, ал дене горизонталь үстелден шар радиусына тең биіктікте орналаскан (суретті қараңыз). Дене ең төменгі нүктеге жеткен мезетте дене мен шардың жылдамдықтарын табыңыз. Дене мен шардың ішкі бетінің арасында үйкеліс жоқ деп есептеңіз. Дербес екі жағдайды қарастырыңыз:
1)Шар мен үстел арасында үйкеліс жоқ (3 ұпай);
2) Шар үстел бойымен сырғанаусыз қозғалады (5 ұпай). Еркін түсу үдеуі $g$-ға тең.

комментарий/решение

---

Есеп №2.  Нанотехнологиядағы калориметр (8 ұпай)
Нанотехнологияда қолданылатын калориметрдің құрылымын қарастырайық. Диск тәрізді кремний нитридынан жасалған жұка дөңгелек мембрана төрт жұка және жіңішке термиялық көпірлермен қабықшамен қосылады, ал басқа жағдайда ол сыртқы ортадан термиялық түрде оқшауланған (сол жақтағы сурет). Мембрана центрінде құрылымы ұқсас кішкентай радиатор бар, ол температураны өлшеуге арналған (мембрана суреті оң жақта).

Осындай калориметрді наноөлшемді титан дискілердің жылулық, қасиеттерін зерттеуге қолдануға болады (олар оң жақтағы суретте ақ нүктелермен кескінделген). Радиатор бөліп шығаратын немесе жұтатын жылудың қуат уақыттан $P=P_0 \cos(\omega t)$ заң бойынша тәуелділікпен анықталады. Бұл кезде дөңгелектік жиілік $\omega$ өте аз болғандыктан кез-келген $t$ уақыт мезетінде калориметр дискісінің барлық бетінде $T(t)$ температура бірдей болады деп есептеуге болады, ал көпірлердегі қашықтықпен сызықты түрде өзгереді. Көпірлер $T_0$ температурасы уақыт бойынша тұрақты болатын массивті қабықшаға бекітілген. Әрбір көпір ұзындығы $L$, көлденең қимасының ауданы $S$ және жылуөткізгіштік коэффициенті $k$, бұл коэффициент көпірдің 1 м ұзындығына температураның $1^{\circ}$ төмендеуі кезінде бірлік аудан арқылы бірлік уақытта көпір арқылы берілетін жылу мөлшерін сипаттайды. Калориметрдің титан дискілермен бірге алғандағы жылусыйымдылығы $C$.

1. Калориметр мен оның қабықшасының арасындағы $R$ жылулық кедергіні анықтаңыз. Жылулық кедергі температура айырымының бірлік уақытта тасымалданатын жылу мөлшеріне қатынасымен анықталады; (1 ұпай)

Келесі, яғни $b)$ және $c)$ пункттерде жауаптарыңызды $C$, $\omega$, $R$ және $P_{0}$ арқылы өрнектеңіз.
2. Өлшеулер бойынша калориметрдегі температура $T(t)=T_0+\Delta T\cos(\omega t+\varphi)$ тең. $\Delta T$ және $\varphi$ анықтап, одан кейін олардың $R$-дан тәуелділік графиктерін тұрғызыңыз; (4 ұпай)
3. Титан дискілердің жылулық қасиеттерін зерттеу үшін, титан дискілер арқылы жүзеге асатын $C$ жылусыйымдылығының аздаған өзгерісінде температура тербелісінің $T(t)$ амплитудасы мүмкіндігінше үлкен мәнге қарай өзгеруі өте маңызды. Осыны ескере отырып, ең тиімді $\omega_0$ дөңгелектік жиілікті анықтаңыз; (2 ұпай)
4. Жоғарыда көпірлер маңындағы температура сызықты түрде өзгереді деп есептелді, яғни олардың жылусыйымдылығы ескерілмеді. Бұл болжам айтарлықтай жоғарғы $\omega>\omega_c$ жиіліктерде орындалмайды. Осыған сәйкес $\omega_c$-ны $k$, $L$, меншікті жылусыйымдылық $c$ және көпір материалының тығыздығы $\rho$ арқылы өрнектей отырып, бағалаңыз. (1 ұпай)

комментарий/решение

---

Есеп №3.  Айнымалы тоқты түзету (8 ұпай)
Суретте $R=10$ кОм жүктемені тұрақты $I=10,0$ мА токпен қоректендіруге арналған схема келтірілген. Сол суретте диодтың вольтамперлік сипаттамасы келтірілген. Жүктеменің (кедергінің) қалыпты жұмыс жасауы үшін ондағы ток күшінің тербелістері $\Delta I/I<0.01\%$ шартын қанағаттандыруы қажет.

1. Схема клеммаларына түсірілген $U$ айнымалы кернеу амплитудасын табыңыз. Схема түрінде бір графикте қорек көзінің кернеуі мен резистордағы кернеудің уақыттан тәуелділік графиктерін келтіріңіз; (2 ұпай)
2. Схеманың жұмыс режимінде, диодтан шығарылатын орташа қуатты табыңыз; (2 ұпай)
3. Схема берілген режимде жұмыс жасайтын кезден конденсатордың минимал сыйымдылығын табыңыз; (2 ұпай)
4. Конденсатор сыйымдылығын минимал мүмкін мәнге ие деп алып, схема клеммасына кернеу түсірілгеннен кейін тербелістің бірінші периодында диодтың орташа қуатын табыңыз. (2 ұпай)

Нұсқау: $x\ll1$ орынды болып табылатын $\cos x\thickapprox 1-x^2/2$ формуласын қолдануға болады.

комментарий/решение

---

Есеп №4. Шыныдан айналу фигурасын жасаған, оның қимасы $y=ax^4$ қисықтың пішінімен сәйкес келеді, $x$ және $y$ — ақауға дейінгі горизонталь және вертикаль қашықтықтар, ал $a$ — кандай-да бір белгілі тұрақты. Фигура төбесінде кішкентай ақау болған (суретті қараңыз). Шынының сыну коэффициентінің қандай минимальды мәнінде бүйір жақ беті арқылы ақау көрінбейді?

комментарий/решение

---