Республиканская олимпиада по физике 2011, 10 класс, теоретический тур

Задача №1. Шариковый «беспредел» (8 баллов)

$N$ шариков равномерно лежат полукругом на гладкой плоскости так, как показано на рисунке. Общая масса всех шариков равна

$M$ . Другой шарик массы

$m$ движется слева к полукругу и абсолютно упруго ударяется со всеми

$N$ шариками, и в конце концов оказывается с другой стороны полукруга со скоростью, направленной влево.
А) В пределе

$N\to\infty$ (то есть когда масса каждого шарика

$M/N$ стремится к нулю), найдите минимальное значение отношения

$M/m$ , при котором указанное движение возможно;
Б) В пределе

$N\to\infty$ , найдите отношение конечной и начальной скоростей шарика массы

$m$ .

комментарий/решение

Задача №2. Магнитный «беспредел» (8 баллов)
Это задача состоит из двух несвязанных частей.
Часть 1.
Электронная пушка ускоряет электроны разностью потенциалов

$U$ в вакууме. Электроны выходят из пушки в направлении

$X$ как показано на рисунке. Цель поражения электронами точка

$M$ находится на расстоянии

$d$ от пушки, направление которой составляет угол

$\alpha$ с осью

$X$ . Чтобы поразить цель, найдите индукцию магнитного поля, которая:
(a) перпендикулярна плоскости рисунка;
(b) параллельна

$OM$ .
Считайте, что масса и заряд электрона известны.

Часть 2.
Вне цилиндра радиуса

$R$ индукция однородного магнитного поля изменяется линейно со временем:

$B=\alpha t$ . Как должна меняться со временем индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра, чтобы электрон двигался по окружности радиуса

$r>R$ . В момент времени

$t=0$ электрон находился в покое. Считайте, что индукции магнитных полей направлены перпендикулярно плоскости движения электрона.
комментарий/решение

Задача №3. Сила взаимодействия между проводящими сферой и плоскостью (8 баллов)
Проблема, с которой часто сталкиваются в атомной микроскопии, состоит в том, чтобы определить силу взаимодействия между проводящей сферой радиуса

$R$ и потенциалом

$V$ и проводящей плоскостью с нулевым потенциалом. Расстояние между телами равно

$H_{0}$ (см. рисунок). Чтобы найти силу, применим шаг за шагом метод зеркального отражения.

Поместим такой заряд $q_{0}$ на сферу, чтобы поверхность сферы являлась эквипотенциальной с потенциалом $V$ . Пренебрегая присутствием проводящей плоскости, выразите $q_{0}$ через $V$ и $R$ ;
Определите значение $q_{1}$ и положение $h_{1}$ изображения заряда до в проводящей плоскости;
Присутствие заряда $q_{1}$ нарушает эквипотенциальность проводящей сферы. Это положение можно исправить помещением другого заряда $q_{2}$ внутри сферы таким образом, чтобы суммарный вклад от $q_{0}$ , $q_{1}$ и $q_{2}$ восстановил эквипотенциальность проводящей сферы. Определите $q_{2}$ и его положение $h_{2}$ ;
Повторите (b), чтобы найти изображение заряда $q_{2}$ (назовите его $q_{4}$ ), и затем повторите (с) чтобы найти изображение заряда $q_{3}$ (назовите его $q_{4}$ ). Получите общую связь между $h_{2n}$ и $h_{2(n+1)}$ , $q_{2n}$ и $q_{2(n+1)}$ , $q_{2n+1}$ и $q_{2n}$ , $n=0,1,2...$ ;
Найдите полную силу взаимодействия между проводящей сферой и плоскостью в виде суммы бесконечного ряда;
Предположим, что сила в (е) равна $1.1\times 10^{-12}$ $H$ , при $V=V_{0}$ , $R=1,0\times 10^{-8}$ м, и $h_{0}=5,0\times 10^{-8}$ м. Найдите силу при $V=2 V_{0}$ , $R=1$ м, и $h_{0}=5$ м;
Дано $R/h_{0}=1/51$ . Сколько членов ряда нужно взять, чтобы определить силу в (е) с точностью до $\sim 1\%$ ?

комментарий/решение

Задача №4. Мастер фотографии (6 баллов)
При фотографировании на пленке из-за конечной разрешающей способности получаются резко изображенными не только те предметы, на которые сфокусирован объектив фотоаппарата, но также и предметы, находящиеся несколько ближе и несколько дальше этого расстояния. Оказалось, что при наведении объектива фотоаппарата на предмет, находящийся на расстоянии

$l_{0}=10$ м, ближняя граница глубины резкости расположена на расстоянии

$L_{0}=7,8$ м. Определить дальнюю границу

$L_{2}$ .
комментарий/решение