қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по физике 2011, 10 класс, теоретический тур
Задача №1. Шариковый «беспредел» (8 баллов)
$N$ шариков равномерно лежат полукругом на гладкой плоскости так, как показано на рисунке. Общая масса всех шариков равна $M$. Другой шарик массы $m$ движется слева к полукругу и абсолютно упруго ударяется со всеми $N$ шариками, и в конце концов оказывается с другой стороны полукруга со скоростью, направленной влево.
А) В пределе $N\to\infty$ (то есть когда масса каждого шарика $M/N$ стремится к нулю), найдите минимальное значение отношения $M/m$, при котором указанное движение возможно;
Б) В пределе $N\to\infty$, найдите отношение конечной и начальной скоростей шарика массы $m$.
комментарий/решение
$N$ шариков равномерно лежат полукругом на гладкой плоскости так, как показано на рисунке. Общая масса всех шариков равна $M$. Другой шарик массы $m$ движется слева к полукругу и абсолютно упруго ударяется со всеми $N$ шариками, и в конце концов оказывается с другой стороны полукруга со скоростью, направленной влево.
А) В пределе $N\to\infty$ (то есть когда масса каждого шарика $M/N$ стремится к нулю), найдите минимальное значение отношения $M/m$, при котором указанное движение возможно;
Б) В пределе $N\to\infty$, найдите отношение конечной и начальной скоростей шарика массы $m$.
комментарий/решение
Задача №2. Магнитный «беспредел» (8 баллов)
Это задача состоит из двух несвязанных частей.
Часть 1.
Электронная пушка ускоряет электроны разностью потенциалов $U$ в вакууме. Электроны выходят из пушки в направлении $X$ как показано на рисунке. Цель поражения электронами точка $M$ находится на расстоянии $d$ от пушки, направление которой составляет угол $\alpha$ с осью $X$. Чтобы поразить цель, найдите индукцию магнитного поля, которая:
(a) перпендикулярна плоскости рисунка;
(b) параллельна $OM$.
Считайте, что масса и заряд электрона известны.
Часть 2.
Вне цилиндра радиуса $R$ индукция однородного магнитного поля изменяется линейно со временем:$B=\alpha t$. Как должна меняться со временем индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра, чтобы электрон двигался по окружности радиуса $r>R$. В момент времени $t=0$ электрон находился в покое. Считайте, что индукции магнитных полей направлены перпендикулярно плоскости движения электрона.
комментарий/решение
Это задача состоит из двух несвязанных частей.
Часть 1.
Электронная пушка ускоряет электроны разностью потенциалов $U$ в вакууме. Электроны выходят из пушки в направлении $X$ как показано на рисунке. Цель поражения электронами точка $M$ находится на расстоянии $d$ от пушки, направление которой составляет угол $\alpha$ с осью $X$. Чтобы поразить цель, найдите индукцию магнитного поля, которая:
(a) перпендикулярна плоскости рисунка;
(b) параллельна $OM$.
Считайте, что масса и заряд электрона известны.
Часть 2.
Вне цилиндра радиуса $R$ индукция однородного магнитного поля изменяется линейно со временем:$B=\alpha t$. Как должна меняться со временем индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра, чтобы электрон двигался по окружности радиуса $r>R$. В момент времени $t=0$ электрон находился в покое. Считайте, что индукции магнитных полей направлены перпендикулярно плоскости движения электрона.
комментарий/решение
Задача №3. Сила взаимодействия между проводящими сферой и плоскостью (8 баллов)
Проблема, с которой часто сталкиваются в атомной микроскопии, состоит в том, чтобы определить силу взаимодействия между проводящей сферой радиуса $R$ и потенциалом $V$ и проводящей плоскостью с нулевым потенциалом. Расстояние между телами равно $H_{0}$ (см. рисунок). Чтобы найти силу, применим шаг за шагом метод зеркального отражения.
комментарий/решение
Проблема, с которой часто сталкиваются в атомной микроскопии, состоит в том, чтобы определить силу взаимодействия между проводящей сферой радиуса $R$ и потенциалом $V$ и проводящей плоскостью с нулевым потенциалом. Расстояние между телами равно $H_{0}$ (см. рисунок). Чтобы найти силу, применим шаг за шагом метод зеркального отражения.
- Поместим такой заряд $q_{0}$ на сферу, чтобы поверхность сферы являлась эквипотенциальной с потенциалом $V$. Пренебрегая присутствием проводящей плоскости, выразите $q_{0}$ через $V$ и $R$;
- Определите значение $q_{1}$ и положение $h_{1}$ изображения заряда до в проводящей плоскости;
- Присутствие заряда $q_{1}$ нарушает эквипотенциальность проводящей сферы. Это положение можно исправить помещением другого заряда $q_{2}$ внутри сферы таким образом, чтобы суммарный вклад от $q_{0}$, $q_{1}$ и $q_{2}$ восстановил эквипотенциальность проводящей сферы. Определите $q_{2}$ и его положение $h_{2}$;
- Повторите (b), чтобы найти изображение заряда $q_{2}$ (назовите его $q_{4}$), и затем повторите (с) чтобы найти изображение заряда $q_{3}$ (назовите его $q_{4}$). Получите общую связь между $h_{2n}$ и $h_{2(n+1)}$, $q_{2n}$ и $q_{2(n+1)}$, $q_{2n+1}$ и $q_{2n}$, $n=0,1,2...$;
- Найдите полную силу взаимодействия между проводящей сферой и плоскостью в виде суммы бесконечного ряда;
- Предположим, что сила в (е) равна $1.1\times 10^{-12}$ $H$, при $V=V_{0}$, $R=1,0\times 10^{-8}$м, и $h_{0}=5,0\times 10^{-8}$м. Найдите силу при $V=2 V_{0}$, $R=1$ м, и $h_{0}=5$ м;
- Дано $R/h_{0}=1/51$. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы определить силу в (е) с точностью до $\sim 1\%$?
комментарий/решение
Задача №4. Мастер фотографии (6 баллов)
При фотографировании на пленке из-за конечной разрешающей способности получаются резко изображенными не только те предметы, на которые сфокусирован объектив фотоаппарата, но также и предметы, находящиеся несколько ближе и несколько дальше этого расстояния. Оказалось, что при наведении объектива фотоаппарата на предмет, находящийся на расстоянии $l_{0}=10$ м, ближняя граница глубины резкости расположена на расстоянии $L_{0}=7,8$ м. Определить дальнюю границу $L_{2}$.
комментарий/решение
При фотографировании на пленке из-за конечной разрешающей способности получаются резко изображенными не только те предметы, на которые сфокусирован объектив фотоаппарата, но также и предметы, находящиеся несколько ближе и несколько дальше этого расстояния. Оказалось, что при наведении объектива фотоаппарата на предмет, находящийся на расстоянии $l_{0}=10$ м, ближняя граница глубины резкости расположена на расстоянии $L_{0}=7,8$ м. Определить дальнюю границу $L_{2}$.
комментарий/решение