қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Аралда 7 көк, 9 жасыл және 11 қызыл құбылғы өмір сүреді. Егер екі түсті құбылғы кездессе, екеуі де түсін үшінші түске өзгертеді (көк және жасыл — қызылға, тағы сол сияқты). Бір мезетте барлық құбылғылардың түстері бірдей бола ала ма?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Бастапқы $m$ тақ натурал сандардың қосындысы бастапқы $n$ жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп болатындай барлық $\left( m,n \right)$ натурал жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $u$ санының бүтін бөлігін $\left[ u \right]$ деп белгілейік. Яғни, $\left[ u \right]$ — $u$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан. $\left[ x+\dfrac{1}{6} \right]+\left[ x+\dfrac{3}{6} \right]+\left[ x+\dfrac{5}{6} \right]=\left[ x \right]+\left[ x+\dfrac{2}{6} \right]+\left[ x+\dfrac{4}{6} \right]$ теңдеуін нақты сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №4. Қос-қостан тең емес $a$, $b$, $c$ нақты сандары үшін ${{\left( a-b \right)}^{5}}+{{\left( b-c \right)}^{5}}+{{\left( c-a \right)}^{5}}=0$ болу мүмкін бе?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $ABC$ дұрыс үшбұрышының $AC$ және $AB$ қабырғаларынан $\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{NA}{NB}=2$ болатындай сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. $BM$ және $CN$ кесінділерінің қиылысын $P$ нүктесімен белгілейік. $\angle APC=90^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №6. Тақтада 100 сан жазылған: $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\ldots$, $\dfrac{1}{100}$. Әр минутта келесі операция орындалады: тақтадан кез келген екі $a$ және $b$ сандары өшіріледі, олардың орнына бір $a+b+ab$ саны жазылады. Бірнеше уақыттан кейін тақтада бір ғана сан қалады. Бұл қандай сан?
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)