Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Аралда 7 көк, 9 жасыл және 11 қызыл құбылғы өмір сүреді. Егер екі түсті құбылғы кездессе, екеуі де түсін үшінші түске өзгертеді (көк және жасыл — қызылға, тағы сол сияқты). Бір мезетте барлық құбылғылардың түстері бірдей бола ала ма?
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Бастапқы

$m$ тақ натурал сандардың қосындысы бастапқы

$n$ жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп болатындай барлық

$\left( m,n \right)$ натурал жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$u$ санының бүтін бөлігін

$\left[ u \right]$ деп белгілейік. Яғни,

$\left[ u \right]$ —

$u$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.

$\left[ x+\dfrac{1}{6} \right]+\left[ x+\dfrac{3}{6} \right]+\left[ x+\dfrac{5}{6} \right]=\left[ x \right]+\left[ x+\dfrac{2}{6} \right]+\left[ x+\dfrac{4}{6} \right]$ теңдеуін нақты сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Қос-қостан тең емес

$a$ ,

$b$ ,

$c$ нақты сандары үшін

${{\left( a-b \right)}^{5}}+{{\left( b-c \right)}^{5}}+{{\left( c-a \right)}^{5}}=0$ болу мүмкін бе?
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$ABC$ дұрыс үшбұрышының

$AC$ және

$AB$ қабырғаларынан

$\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{NA}{NB}=2$ болатындай сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелері алынған.

$BM$ және

$CN$ кесінділерінің қиылысын

$P$ нүктесімен белгілейік.

$\angle APC=90^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №6. Тақтада 100 сан жазылған:

$1$ ,

$\dfrac{1}{2}$ ,

$\dfrac{1}{3}$ ,

$\ldots$ ,

$\dfrac{1}{100}$ . Әр минутта келесі операция орындалады: тақтадан кез келген екі

$a$ және

$b$ сандары өшіріледі, олардың орнына бір

$a+b+ab$ саны жазылады. Бірнеше уақыттан кейін тақтада бір ғана сан қалады. Бұл қандай сан?
комментарий/решение(4)