Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс

Существуют ли попарно различные вещественные числа $a,~b,~c$, такие, что ${{\left( a-b \right)}^{5}}+{{\left( b-c \right)}^{5}}+{{\left( c-a \right)}^{5}}=0$?

Комментарий/решение

$(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5=0$

$(a-b)^5+(b-c)^5-(a-c)^5=0$

Сделав замену $a-c=(a-b)+(b-c)$, можно разложить уравнение:

$(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$

Заметим, что $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geqslant 0$, где равенство достигается при $a=b=c$.

Значит, попарно различных корней нет.

Шешуі:

Егер $a = b$, $b \neq c$ болса, онда $a \neq c$. Ал $b - c = t$ болса, онда $c - a = c - b = -t$ ⟹ $b = c + t$, $c = a - t$ ($t \in \mathbb{R}$).

$$(a-b)^5+ (b-c)^5+ (c-a)^5 = (b-c)^5+(c-a)^5 = 0,$$ яғни $$(c + t - c)^5 + (a - t - a)^5= 0 ⟹ t^5+ (-t)^5 = 0$$ немесе $t^5 - t^5 = 0$.

Жауабы: мүмкін.