қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. На острове живут 7 синих, 9 зеленых и 11 красных хамелеонов. Когда два хамелеона разного цвета встречаются, они оба меняют свой цвет на
третий (синий и зеленый – на красный, и так далее). Возможно ли, что в
какой-то момент все хамелеоны станут одного цвета?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Найдите все пары натуральных чисел $\left( m,n \right)$, удовлетворяющие следующему условию: сумма первых $m$ нечетных натуральных чисел на 212 больше суммы первых $n$ четных натуральных чисел.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Пусть $\left[ u \right]$ – целая часть числа $u$, то есть наибольшее целое, не превосходящее $u$. Решите в вещественных числах уравнение
$$
\left[ x+\frac{1}{6} \right]+\left[ x+\frac{3}{6} \right]+\left[ x+\frac{5}{6} \right]=\left[ x \right]+\left[ x+\frac{2}{6} \right]+\left[ x+\frac{4}{6} \right].
$$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. Существуют ли попарно различные вещественные числа $a,~b,~c$, такие,
что ${{\left( a-b \right)}^{5}}+{{\left( b-c \right)}^{5}}+{{\left( c-a \right)}^{5}}=0$?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. На сторонах $AC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $N$, соответственно, так, что $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$. Пусть $P$ – точка пересечения отрезков $BM$ и $CN$. Докажите, что $\angle APC=90^\circ $.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. На доске написаны 100 чисел: $1,~\frac{1}{2},~\frac{1}{3},~\ldots ,~\frac{1}{100}$.
Каждую минуту проделывается следующая операция: какие-либо два числа $a,~b$
стираются и вместо них пишется одно число $a+b+ab$. Через некоторое время на доске остается только одно число. Какое это число?
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)