Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  На острове живут 7 синих, 9 зеленых и 11 красных хамелеонов. Когда два хамелеона разного цвета встречаются, они оба меняют свой цвет на третий (синий и зеленый – на красный, и так далее). Возможно ли, что в какой-то момент все хамелеоны станут одного цвета?
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Найдите все пары натуральных чисел (m,n), удовлетворяющие следующему условию: сумма первых m нечетных натуральных чисел на 212 больше суммы первых n четных натуральных чисел.
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Пусть [u] – целая часть числа u, то есть наибольшее целое, не превосходящее u. Решите в вещественных числах уравнение [x+16]+[x+36]+[x+56]=[x]+[x+26]+[x+46].
комментарий/решение(4)
Задача №4.  Существуют ли попарно различные вещественные числа a, b, c, такие, что (ab)5+(bc)5+(ca)5=0?
комментарий/решение(2)
Задача №5.  На сторонах AC и AB равностороннего треугольника ABC взяты точки M и N, соответственно, так, что MCMA=NANB=2. Пусть P – точка пересечения отрезков BM и CN. Докажите, что APC=90.
комментарий/решение(4)
Задача №6.  На доске написаны 100 чисел: 1, 12, 13, , 1100. Каждую минуту проделывается следующая операция: какие-либо два числа a, b стираются и вместо них пишется одно число a+b+ab. Через некоторое время на доске остается только одно число. Какое это число?
комментарий/решение(4)