Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. На острове живут 7 синих, 9 зеленых и 11 красных хамелеонов. Когда два хамелеона разного цвета встречаются, они оба меняют свой цвет на
третий (синий и зеленый – на красный, и так далее). Возможно ли, что в
какой-то момент все хамелеоны станут одного цвета?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Найдите все пары натуральных чисел (m,n), удовлетворяющие следующему условию: сумма первых m нечетных натуральных чисел на 212 больше суммы первых n четных натуральных чисел.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Пусть [u] – целая часть числа u, то есть наибольшее целое, не превосходящее u. Решите в вещественных числах уравнение
[x+16]+[x+36]+[x+56]=[x]+[x+26]+[x+46].
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. Существуют ли попарно различные вещественные числа a, b, c, такие,
что (a−b)5+(b−c)5+(c−a)5=0?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. На сторонах AC и AB равностороннего треугольника ABC взяты точки M и N, соответственно, так, что MCMA=NANB=2. Пусть P – точка пересечения отрезков BM и CN. Докажите, что ∠APC=90∘.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. На доске написаны 100 чисел: 1, 12, 13, …, 1100.
Каждую минуту проделывается следующая операция: какие-либо два числа a, b
стираются и вместо них пишется одно число a+b+ab. Через некоторое время на доске остается только одно число. Какое это число?
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)