Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс

На сторонах $AC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $N$, соответственно, так, что $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$. Пусть $P$ – точка пересечения отрезков $BM$ и $CN$. Докажите, что $\angle APC=90^\circ$.

Комментарий/решение

Из условия получается что $BN=AM, \ AN=CM$, пусть $X$ середина $CM$, тогда $AM=MX=CX$ значит $ANX$ равносторонний или $NM \perp AC$.

Отметим что $CN=BM$ по первому признаку равенств треугольников $ANC, BMC$ значит $\angle ANC = \angle BMC$ откуда $\angle ANC + \angle AMB = 180^{\circ}$ или $ANPM$ - вписанный $\angle APN = \angle AMN = 90^{\circ}$ значит $\angle APC = 90^{\circ}$

Как Вы нашли то что CN=AM*3под корнем

І тәсіл (Салу әдісін қолдану)}

Есеп шарты бойынша сызба сызып талдау жасайық.

Талдау:

1) $$AB = AC = 2 \implies MC = 2MA, \ NA = 2NB, \ AC = MA + MC, \ AB = NA + NB \implies AC = 3MA, \ AB = 3NB$$

Әрекетті жүргіздіктен, $$AC = AB \implies MA = NB, \ NA = MC$$ (1 - сурет).

2) В нүктесі арқылы $BK \perp AC$ болатындай $BK$ және $N, M$ нүктелері арқылы $NM$ түзулерін жүргізейік.

$$AK = CK = AC \cos \angle CAM = AC \cos \alpha$$

Сонымен, $$NM = AK \tan \angle ANM = AC \sin \alpha \tan \angle ANM = \frac{AC \sin \alpha}{\cos \alpha} = AC \tan \alpha$$

Косинустар теоремасын пайдалана отырып, $AC = BC$ болады. Осылай болса, пропорциял кесінділер теоремасы бойынша $NB \parallel BK$, яғни $NM \perp AC$ және $\angle ANM = 30^\circ$. Солай болғанда, $AM = AN$.

Салу:

1) Тікбұрышты $ANM$ үшбұрышын саламыз.

2) Талдауға сүйеніп, салған үшбұрышын пайдаланып, $ABC$ дұрыс үшбұрышын саламыз.

3) Радиусы $AC$ - ға тең жарты шеңбер сызып және $NC$ түзуін жүргізіп, түзудің жарты шеңбермен қиылысу нүктесін $R$ деп белгілейміз (1а – сурет).

4) $V$ және $R$ нүктелері арқылы жүргізілген түзу $M$ нүктесінен өтеді, сондықтан $AC$ - ға тең болатын $A$ - ға киіп төгілген діаметр болады. Демек, $\angle APC = 90^\circ$ (1а – сурет).

ІІ тәсіл (Косинустар теоремасын қолдану)}

Шешуі: $\angle ABM = \alpha$, $\angle AMB = \beta$ деп белгілейміз. Косинустар теоремасы бойынша $\triangle ABM$ - нен

$$BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos \beta$$

$$= 9 + 1 - 2 \cdot 3 \cdot \cos \beta$$

$$BM^2 = 7 \implies BM = \sqrt{7}$$

$$BM = \sqrt{9 + 7 - 2 \cdot 3 \cdot \cos \alpha} \implies 16 - 6 \cos \alpha = 1 \implies \cos \alpha = \frac{5}{6}$$

$$BM = \sqrt{1 + 7 - 2 \cdot \cos \beta} \implies 8 - 2 \cos \beta = 9 \implies \cos \beta = -\frac{1}{2}$$

Пайдаланушы тандаған $BR = x$ десек, $MR = -x$,

$$\triangle AMR\text{ - дан }A = 1 + (-x)^2 + 2 \cdot (-x) \cdot \cos \beta = 9 - x + x^2$$

$$\triangle ANR \text{ және } \triangle NBP\text{ - дан} -\text{ на теңестіру арқылы } x\text{ты табамыз}$$

$$4 - 9 + 9 - x + x^2 = 1 + x^2 - 2 \cdot x \cdot \cos \beta \implies x = 2$$

$$BM = NC = \sqrt{7}, \ NP = \sqrt{5}, \ PC = \sqrt{3}, \ AR = \sqrt{10}$$

Сонымен, $$\sqrt{7} + \sqrt{3} \implies AC = 3$$

Сонымен, $\angle APC = 90^\circ$.

ІІІ тәсіл (Чева теоремасын қолдану)}

Шешуі: Белгілерді енгізейік. $AR \cap BC = D$

$$MA = NB = x, \ MC = NA = 2x,$$

$$NP = z, \ DP = t,$$

$$BD = y, \ CD = 3x - y\text{ делік (2 – сурет)}$$

Чева теоремасы бойынша $\frac{BD}{CD} \cdot \frac{CM}{MA} \cdot \frac{AN}{NB} = 1$, яғни

$$\frac{y}{3x - y} \cdot \frac{2x}{x} \cdot \frac{x}{x} = 1 \implies 2y = 3x - y \implies x = 2$$

$$BM = NC = \frac{1}{2} \cdot \frac{BD}{CD} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{3x - y} \cdot BC$$

Осыдан, $$\frac{BM}{NC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{3x - y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \implies \frac{y}{3x - y} = \frac{3}{2}$$

$$y = \frac{3}{5}, \ x = \frac{9}{5}$$

$$AC = BC = 15 \implies \cos \angle APC = 0$$

І тәсіл (Салу әдісін қолдану)}

Есеп шарты бойынша сызба сызып талдау жасайық.

Талдау:

1) $$AB = AC = 2 \implies MC = 2MA, \ NA = 2NB, \ AC = MA + MC, \ AB = NA + NB \implies AC = 3MA, \ AB = 3NB$$

Әрекетті жүргіздіктен, $$AC = AB \implies MA = NB, \ NA = MC$$ (1 - сурет).

2) В нүктесі арқылы $BK \perp AC$ болатындай $BK$ және $N, M$ нүктелері арқылы $NM$ түзулерін жүргізейік.

$$AK = CK = AC \cos \angle CAM = AC \cos \alpha$$

Сонымен, $$NM = AK \tan \angle ANM = AC \sin \alpha \tan \angle ANM = \frac{AC \sin \alpha}{\cos \alpha} = AC \tan \alpha$$

Косинустар теоремасын пайдалана отырып, $AC = BC$ болады. Осылай болса, пропорциял кесінділер теоремасы бойынша $NB \parallel BK$, яғни $NM \perp AC$ және $\angle ANM = 30^\circ$. Солай болғанда, $AM = AN$.

Салу:

1) Тікбұрышты $ANM$ үшбұрышын саламыз.

2) Талдауға сүйеніп, салған үшбұрышын пайдаланып, $ABC$ дұрыс үшбұрышын саламыз.

3) Радиусы $AC$ - ға тең жарты шеңбер сызып және $NC$ түзуін жүргізіп, түзудің жарты шеңбермен қиылысу нүктесін $R$ деп белгілейміз (1а – сурет).

4) $V$ және $R$ нүктелері арқылы жүргізілген түзу $M$ нүктесінен өтеді, сондықтан $AC$ - ға тең болатын $A$ - ға киіп төгілген діаметр болады. Демек, $\angle APC = 90^\circ$ (1а – сурет).

ІІ тәсіл (Косинустар теоремасын қолдану)}

Шешуі: $\angle ABM = \alpha$, $\angle AMB = \beta$ деп белгілейміз. Косинустар теоремасы бойынша $\triangle ABM$ - нен

$$BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos \beta$$

$$= 9 + 1 - 2 \cdot 3 \cdot \cos \beta$$

$$BM^2 = 7 \implies BM = \sqrt{7}$$

$$BM = \sqrt{9 + 7 - 2 \cdot 3 \cdot \cos \alpha} \implies 16 - 6 \cos \alpha = 1 \implies \cos \alpha = \frac{5}{6}$$

$$BM = \sqrt{1 + 7 - 2 \cdot \cos \beta} \implies 8 - 2 \cos \beta = 9 \implies \cos \beta = -\frac{1}{2}$$

Пайдаланушы тандаған $BR = x$ десек, $MR = -x$,

$$\triangle AMR\text{ - дан }A = 1 + (-x)^2 + 2 \cdot (-x) \cdot \cos \beta = 9 - x + x^2$$

$$\triangle ANR \text{ және } \triangle NBP\text{ - дан} -\text{ на теңестіру арқылы } x\text{ты табамыз}$$

$$4 - 9 + 9 - x + x^2 = 1 + x^2 - 2 \cdot x \cdot \cos \beta \implies x = 2$$

$$BM = NC = \sqrt{7}, \ NP = \sqrt{5}, \ PC = \sqrt{3}, \ AR = \sqrt{10}$$

Сонымен, $$\sqrt{7} + \sqrt{3} \implies AC = 3$$

Сонымен, $\angle APC = 90^\circ$.

ІІІ тәсіл (Чева теоремасын қолдану)}

Шешуі: Белгілерді енгізейік. $AR \cap BC = D$

$$MA = NB = x, \ MC = NA = 2x,$$

$$NP = z, \ DP = t,$$

$$BD = y, \ CD = 3x - y\text{ делік (2 – сурет)}$$

Чева теоремасы бойынша $\frac{BD}{CD} \cdot \frac{CM}{MA} \cdot \frac{AN}{NB} = 1$, яғни

$$\frac{y}{3x - y} \cdot \frac{2x}{x} \cdot \frac{x}{x} = 1 \implies 2y = 3x - y \implies x = 2$$

$$BM = NC = \frac{1}{2} \cdot \frac{BD}{CD} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{3x - y} \cdot BC$$

Осыдан, $$\frac{BM}{NC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{3x - y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \implies \frac{y}{3x - y} = \frac{3}{2}$$

$$y = \frac{3}{5}, \ x = \frac{9}{5}$$

$$AC = BC = 15 \implies \cos \angle APC = 0$$