Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс

На сторонах $AC$ и $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $N$, соответственно, так, что $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$. Пусть $P$ – точка пересечения отрезков $BM$ и $CN$. Докажите, что $\angle APC=90^\circ $.

Комментарий/решение

Из условия получается что $BN=AM, \ AN=CM$, пусть $X$ середина $CM$, тогда $AM=MX=CX$ значит $ANX$ равносторонний или $NM \perp AC$.

Отметим что $CN=BM$ по первому признаку равенств треугольников $ANC, BMC$ значит $\angle ANC = \angle BMC$ откуда $\angle ANC + \angle AMB = 180^{\circ}$ или $ANPM$ - вписанный $\angle APN = \angle AMN = 90^{\circ}$ значит $\angle APC = 90^{\circ}$

Как Вы нашли то что CN=AM*3под корнем

І тәсіл (Салу әдісін қолдану)}

Есеп шарты бойынша сызба сызып талдау жасайық.

Талдау:

1) \[AB = AC = 2 \implies MC = 2MA, \ NA = 2NB, \ AC = MA + MC, \ AB = NA + NB \implies AC = 3MA, \ AB = 3NB\]

Әрекетті жүргіздіктен, \[AC = AB \implies MA = NB, \ NA = MC\] (1 - сурет).

2) В нүктесі арқылы \(BK \perp AC\) болатындай \(BK\) және \(N, M\) нүктелері арқылы \(NM\) түзулерін жүргізейік.

\[AK = CK = AC \cos \angle CAM = AC \cos \alpha\]

Сонымен, \[NM = AK \tan \angle ANM = AC \sin \alpha \tan \angle ANM = \frac{AC \sin \alpha}{\cos \alpha} = AC \tan \alpha\]

Косинустар теоремасын пайдалана отырып, \(AC = BC\) болады. Осылай болса, пропорциял кесінділер теоремасы бойынша \(NB \parallel BK\), яғни \(NM \perp AC\) және \(\angle ANM = 30^\circ\). Солай болғанда, \(AM = AN\).

Салу:

1) Тікбұрышты \(ANM\) үшбұрышын саламыз.

2) Талдауға сүйеніп, салған үшбұрышын пайдаланып, \(ABC\) дұрыс үшбұрышын саламыз.

3) Радиусы \(AC\) - ға тең жарты шеңбер сызып және \(NC\) түзуін жүргізіп, түзудің жарты шеңбермен қиылысу нүктесін \(R\) деп белгілейміз (1а – сурет).

4) \(V\) және \(R\) нүктелері арқылы жүргізілген түзу \(M\) нүктесінен өтеді, сондықтан \(AC\) - ға тең болатын \(A\) - ға киіп төгілген діаметр болады. Демек, \(\angle APC = 90^\circ\) (1а – сурет).

ІІ тәсіл (Косинустар теоремасын қолдану)}

Шешуі: \(\angle ABM = \alpha\), \(\angle AMB = \beta\) деп белгілейміз. Косинустар теоремасы бойынша \(\triangle ABM\) - нен

\[BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos \beta\]

\[= 9 + 1 - 2 \cdot 3 \cdot \cos \beta\]

\[BM^2 = 7 \implies BM = \sqrt{7}\]

\[BM = \sqrt{9 + 7 - 2 \cdot 3 \cdot \cos \alpha} \implies 16 - 6 \cos \alpha = 1 \implies \cos \alpha = \frac{5}{6}\]

\[BM = \sqrt{1 + 7 - 2 \cdot \cos \beta} \implies 8 - 2 \cos \beta = 9 \implies \cos \beta = -\frac{1}{2}\]

Пайдаланушы тандаған \(BR = x\) десек, \(MR = -x\),

\[\triangle AMR\text{ - дан }A = 1 + (-x)^2 + 2 \cdot (-x) \cdot \cos \beta = 9 - x + x^2\]

\[\triangle ANR \text{ және } \triangle NBP\text{ - дан} -\text{ на теңестіру арқылы } x\text{ты табамыз}\]

\[4 - 9 + 9 - x + x^2 = 1 + x^2 - 2 \cdot x \cdot \cos \beta \implies x = 2\]

\[BM = NC = \sqrt{7}, \ NP = \sqrt{5}, \ PC = \sqrt{3}, \ AR = \sqrt{10}\]

Сонымен, \[\sqrt{7} + \sqrt{3} \implies AC = 3\]

Сонымен, \(\angle APC = 90^\circ\).

ІІІ тәсіл (Чева теоремасын қолдану)}

Шешуі: Белгілерді енгізейік. \(AR \cap BC = D\)

\[MA = NB = x, \ MC = NA = 2x,\]

\[NP = z, \ DP = t,\]

\[BD = y, \ CD = 3x - y\text{ делік (2 – сурет)}\]

Чева теоремасы бойынша \(\frac{BD}{CD} \cdot \frac{CM}{MA} \cdot \frac{AN}{NB} = 1\), яғни

\[\frac{y}{3x - y} \cdot \frac{2x}{x} \cdot \frac{x}{x} = 1 \implies 2y = 3x - y \implies x = 2\]

\[BM = NC = \frac{1}{2} \cdot \frac{BD}{CD} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{3x - y} \cdot BC\]

Осыдан, \[\frac{BM}{NC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{3x - y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \implies \frac{y}{3x - y} = \frac{3}{2}\]

\[y = \frac{3}{5}, \ x = \frac{9}{5}\]

\[AC = BC = 15 \implies \cos \angle APC = 0\]

І тәсіл (Салу әдісін қолдану)}

Есеп шарты бойынша сызба сызып талдау жасайық.

Талдау:

1) \[AB = AC = 2 \implies MC = 2MA, \ NA = 2NB, \ AC = MA + MC, \ AB = NA + NB \implies AC = 3MA, \ AB = 3NB\]

Әрекетті жүргіздіктен, \[AC = AB \implies MA = NB, \ NA = MC\] (1 - сурет).

2) В нүктесі арқылы \(BK \perp AC\) болатындай \(BK\) және \(N, M\) нүктелері арқылы \(NM\) түзулерін жүргізейік.

\[AK = CK = AC \cos \angle CAM = AC \cos \alpha\]

Сонымен, \[NM = AK \tan \angle ANM = AC \sin \alpha \tan \angle ANM = \frac{AC \sin \alpha}{\cos \alpha} = AC \tan \alpha\]

Косинустар теоремасын пайдалана отырып, \(AC = BC\) болады. Осылай болса, пропорциял кесінділер теоремасы бойынша \(NB \parallel BK\), яғни \(NM \perp AC\) және \(\angle ANM = 30^\circ\). Солай болғанда, \(AM = AN\).

Салу:

1) Тікбұрышты \(ANM\) үшбұрышын саламыз.

2) Талдауға сүйеніп, салған үшбұрышын пайдаланып, \(ABC\) дұрыс үшбұрышын саламыз.

3) Радиусы \(AC\) - ға тең жарты шеңбер сызып және \(NC\) түзуін жүргізіп, түзудің жарты шеңбермен қиылысу нүктесін \(R\) деп белгілейміз (1а – сурет).

4) \(V\) және \(R\) нүктелері арқылы жүргізілген түзу \(M\) нүктесінен өтеді, сондықтан \(AC\) - ға тең болатын \(A\) - ға киіп төгілген діаметр болады. Демек, \(\angle APC = 90^\circ\) (1а – сурет).

ІІ тәсіл (Косинустар теоремасын қолдану)}

Шешуі: \(\angle ABM = \alpha\), \(\angle AMB = \beta\) деп белгілейміз. Косинустар теоремасы бойынша \(\triangle ABM\) - нен

\[BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos \beta\]

\[= 9 + 1 - 2 \cdot 3 \cdot \cos \beta\]

\[BM^2 = 7 \implies BM = \sqrt{7}\]

\[BM = \sqrt{9 + 7 - 2 \cdot 3 \cdot \cos \alpha} \implies 16 - 6 \cos \alpha = 1 \implies \cos \alpha = \frac{5}{6}\]

\[BM = \sqrt{1 + 7 - 2 \cdot \cos \beta} \implies 8 - 2 \cos \beta = 9 \implies \cos \beta = -\frac{1}{2}\]

Пайдаланушы тандаған \(BR = x\) десек, \(MR = -x\),

\[\triangle AMR\text{ - дан }A = 1 + (-x)^2 + 2 \cdot (-x) \cdot \cos \beta = 9 - x + x^2\]

\[\triangle ANR \text{ және } \triangle NBP\text{ - дан} -\text{ на теңестіру арқылы } x\text{ты табамыз}\]

\[4 - 9 + 9 - x + x^2 = 1 + x^2 - 2 \cdot x \cdot \cos \beta \implies x = 2\]

\[BM = NC = \sqrt{7}, \ NP = \sqrt{5}, \ PC = \sqrt{3}, \ AR = \sqrt{10}\]

Сонымен, \[\sqrt{7} + \sqrt{3} \implies AC = 3\]

Сонымен, \(\angle APC = 90^\circ\).

ІІІ тәсіл (Чева теоремасын қолдану)}

Шешуі: Белгілерді енгізейік. \(AR \cap BC = D\)

\[MA = NB = x, \ MC = NA = 2x,\]

\[NP = z, \ DP = t,\]

\[BD = y, \ CD = 3x - y\text{ делік (2 – сурет)}\]

Чева теоремасы бойынша \(\frac{BD}{CD} \cdot \frac{CM}{MA} \cdot \frac{AN}{NB} = 1\), яғни

\[\frac{y}{3x - y} \cdot \frac{2x}{x} \cdot \frac{x}{x} = 1 \implies 2y = 3x - y \implies x = 2\]

\[BM = NC = \frac{1}{2} \cdot \frac{BD}{CD} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{3x - y} \cdot BC\]

Осыдан, \[\frac{BM}{NC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{3x - y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \implies \frac{y}{3x - y} = \frac{3}{2}\]

\[y = \frac{3}{5}, \ x = \frac{9}{5}\]

\[AC = BC = 15 \implies \cos \angle APC = 0\]