35-я Балканская математическая олимпиада. Белград, Сербия, 2018 год

Задача №1. В окружность

$k$ вписан четырехугольник

$ABCD$ такой, что

$AB > CD$ и

$AB \nparallel CD$ . Диагонали

$AC$ и

$BD$ пересекаются в точке

$M$ . На отрезке

$AB$ нашлась точка

$E$ такая, что

$EM \perp AB$ . Известно, что

$\angle MEC = \angle MED$ . Докажите, что

$AB$ является диаметром

$k$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Пусть

$q$ --- положительное рациональное число. Два муравья первоначально находятся некоторой точке

$X$ плоскости. На

$n$ -ой минуте (

$n = 1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ) каждый муравей выбирает одно из четырех направлении: север, восток, юг или запад; затем ходит на расстояние

$q^n$ метров в выбранном направлении. Оказалось, что после натурального число минут они попали в одну и ту же точку плоскости (не обязательно в

$X$ ), при этом их маршруты отличались. Определите все возможные значения

$q$ .
комментарий/решение

Задача №3. Боб и Алиса играют в следующую игру. Игра начинается с двух куч, в каждой из которых находится ненулевое количество монет. Разрешается выбрать любую кучу с четным количеством монет, и половину монет из этой кучи переложить в другую. Игру начинает Алиса, далее ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.
Определите все пары натуральных чисел

$(a, b)$ таких, что если изначально первая и вторая кучи имеют

$a$ и

$b$ монет соответственно, то у Боба всегда есть выигрышная стратегия.
комментарий/решение

Задача №4. Найдите все пары простых чисел

$(p,q)$ таких, что число

$11^p+17^p$ делится на

$3p^{q-1}+1$ .
комментарий/решение(2)

результаты