Processing math: 6%

35-я Балканская математическая олимпиада. Белград, Сербия, 2018 год


В окружность k вписан четырехугольник ABCD такой, что AB>CD и AB. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. На отрезке AB нашлась точка E такая, что EM \perp AB. Известно, что \angle MEC = \angle MED. Докажите, что AB является диаметром k.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
7 года назад #

По тригонометрической теореме Чевы в треугольнике DEC мы получаем

\sin \angle DCA \cdot \sin (\angle DEA - \angle DCA) = sin \angle CDB \cdot \sin (\angle DEA - \angle CDB)

Откуда

\frac{1}{2}(\cos \angle DEA - \cos (\angle DEA - 2 \angle DCA)) = \frac{1}{2}(\cos \angle DEA - \cos (\angle DEA - 2 \angle CDB))

АВ не параллельна CD,значит \angle ACD + \angle BDC = \angle DEA \iff М - инцентр треугольника DEC \iff BCME вписан в одну окружность \iff AB диаметр

  3
10 месяца 27 дней назад #

Пусть прямая L где L||AB проходит через точку M. L \cap AB=K L \cap ED=Y L \cap EC=T L \cap BC=N

Claim. AD,DC,EM пересекаются в одной точке

Доказательство:

Пусть AB \cap BC=X XM \cap AB=R тогда по Т.Фалеса верно

\frac{KM}{MN}=\frac{AR}{RB}

Заметим что у нас EY=ET значит MY=MT

Также у нас по Т.Фалеса верно

\frac{KM}{AB}=\frac{YM}{BE} и \frac{NM}{AB}=\frac{MT}{AE} отсюда \frac{KM}{NM}=\frac{AE}{BE} отсюда R=E

Проведем две чевианы которые пересекаются с XH в одной точке J, и пусть одна чевиана пересекает AX в точке G а другая BX в точке F , и они такие что ABFG вписаный. Тогда по Ratio lemma выходит что треугольники AXJ и BXJ равны отсюда AX=BX значит E середина AB что не возможно отсюда M фиксированая точка такая что если провести через нее такие чевианы что будет вписаный четырехугольник а так как XE высота значит M ортоцентр треугольника AXB значит AB- диаметр.