35-я Балканская математическая олимпиада. Белград, Сербия, 2018 год

В окружность $k$ вписан четырехугольник $ABCD$ такой, что $AB > CD$ и $AB \nparallel CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. На отрезке $AB$ нашлась точка $E$ такая, что $EM \perp AB$. Известно, что $\angle MEC = \angle MED$. Докажите, что $AB$ является диаметром $k$.

Комментарий/решение

По тригонометрической теореме Чевы в треугольнике DEC мы получаем

$$\sin \angle DCA \cdot \sin (\angle DEA - \angle DCA) = sin \angle CDB \cdot \sin (\angle DEA - \angle CDB)$$

Откуда

$$\frac{1}{2}(\cos \angle DEA - \cos (\angle DEA - 2 \angle DCA)) = \frac{1}{2}(\cos \angle DEA - \cos (\angle DEA - 2 \angle CDB))$$

АВ не параллельна CD,значит $\angle ACD + \angle BDC = \angle DEA \iff $ М - инцентр треугольника DEC $\iff BCME$ вписан в одну окружность $\iff AB$ диаметр

Пусть прямая $L$ где $L||AB$ проходит через точку M. $L \cap AB=K$ $L \cap ED=Y$ $L \cap EC=T$ $ L \cap BC=N$

$Claim$. $AD,DC,EM$ пересекаются в одной точке

Доказательство:

Пусть $AB \cap BC=X$ $XM \cap AB=R$ тогда по Т.Фалеса верно

$\frac{KM}{MN}=\frac{AR}{RB}$

Заметим что у нас $EY=ET$ значит $MY=MT$

Также у нас по Т.Фалеса верно

$\frac{KM}{AB}=\frac{YM}{BE}$ и $\frac{NM}{AB}=\frac{MT}{AE}$ отсюда $\frac{KM}{NM}=\frac{AE}{BE}$ отсюда $R=E$

Проведем две чевианы которые пересекаются с $XH$ в одной точке $J$, и пусть одна чевиана пересекает $AX$ в точке $G$ а другая $BX$ в точке $F$ , и они такие что $ABFG$ вписаный. Тогда по Ratio lemma выходит что треугольники $AXJ$ и $BXJ $ равны отсюда $AX=BX$ значит E середина AB что не возможно отсюда M фиксированая точка такая что если провести через нее такие чевианы что будет вписаный четырехугольник а так как $XE$ высота значит M ортоцентр треугольника AXB значит AB- диаметр.