35-я Балканская математическая олимпиада. Белград, Сербия, 2018 год
Комментарий/решение:
По тригонометрической теореме Чевы в треугольнике DEC мы получаем
\sin \angle DCA \cdot \sin (\angle DEA - \angle DCA) = sin \angle CDB \cdot \sin (\angle DEA - \angle CDB)
Откуда
\frac{1}{2}(\cos \angle DEA - \cos (\angle DEA - 2 \angle DCA)) = \frac{1}{2}(\cos \angle DEA - \cos (\angle DEA - 2 \angle CDB))
АВ не параллельна CD,значит \angle ACD + \angle BDC = \angle DEA \iff М - инцентр треугольника DEC \iff BCME вписан в одну окружность \iff AB диаметр
Пусть прямая L где L||AB проходит через точку M. L \cap AB=K L \cap ED=Y L \cap EC=T L \cap BC=N
Claim. AD,DC,EM пересекаются в одной точке
Доказательство:
Пусть AB \cap BC=X XM \cap AB=R тогда по Т.Фалеса верно
\frac{KM}{MN}=\frac{AR}{RB}
Заметим что у нас EY=ET значит MY=MT
Также у нас по Т.Фалеса верно
\frac{KM}{AB}=\frac{YM}{BE} и \frac{NM}{AB}=\frac{MT}{AE} отсюда \frac{KM}{NM}=\frac{AE}{BE} отсюда R=E
Проведем две чевианы которые пересекаются с XH в одной точке J, и пусть одна чевиана пересекает AX в точке G а другая BX в точке F , и они такие что ABFG вписаный. Тогда по Ratio lemma выходит что треугольники AXJ и BXJ равны отсюда AX=BX значит E середина AB что не возможно отсюда M фиксированая точка такая что если провести через нее такие чевианы что будет вписаный четырехугольник а так как XE высота значит M ортоцентр треугольника AXB значит AB- диаметр.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.