Processing math: 10%

35-я Балканская математическая олимпиада. Белград, Сербия, 2018 год


Задача №1.  В окружность k вписан четырехугольник ABCD такой, что AB>CD и AB. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. На отрезке AB нашлась точка E такая, что EM \perp AB. Известно, что \angle MEC = \angle MED. Докажите, что AB является диаметром k.
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть q --- положительное рациональное число. Два муравья первоначально находятся некоторой точке X плоскости. На n-ой минуте (n = 1, 2, \ldots) каждый муравей выбирает одно из четырех направлении: север, восток, юг или запад; затем ходит на расстояние q^n метров в выбранном направлении. Оказалось, что после натурального число минут они попали в одну и ту же точку плоскости (не обязательно в X), при этом их маршруты отличались. Определите все возможные значения q.
комментарий/решение
Задача №3.  Боб и Алиса играют в следующую игру. Игра начинается с двух куч, в каждой из которых находится ненулевое количество монет. Разрешается выбрать любую кучу с четным количеством монет, и половину монет из этой кучи переложить в другую. Игру начинает Алиса, далее ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.
Определите все пары натуральных чисел (a, b) таких, что если изначально первая и вторая кучи имеют a и b монет соответственно, то у Боба всегда есть выигрышная стратегия.
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите все пары простых чисел (p,q) таких, что число 11^p+17^p делится на 3p^{q-1}+1.
комментарий/решение(2)
результаты