35-я Балканская математическая олимпиада. Белград, Сербия, 2018 год

Боб и Алиса играют в следующую игру. Игра начинается с двух куч, в каждой из которых находится ненулевое количество монет. Разрешается выбрать любую кучу с четным количеством монет, и половину монет из этой кучи переложить в другую. Игру начинает Алиса, далее ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.
Определите все пары натуральных чисел $(a, b)$ таких, что если изначально первая и вторая кучи имеют $a$ и $b$ монет соответственно, то у Боба всегда есть выигрышная стратегия.

Комментарий/решение

$1)v_2(a)=v_2(b)=0$

$2)v_2(a)=2n;⠀v_2(b)=0$

$3)v_2(a)=v_2(b)\rightarrow (v_2(a);⠀v_2(a))\Rightarrow (v_2(a)-1);⠀v_2(a))\Rightarrow... (1;⠀1)\longrightarrow v_2(a)=2n$

$4)v_2(a)<v_2(b)\rightarrow v_2(a)\Rightarrow v_2(a)-1;⠀v_2(b)\Rightarrow v_2(a)\rightarrow v_2(a)-1 \Rightarrow v_2(a)=2n$

Ответs$:v_2(a)=v_2(b); ⠀v_2=2n$