Областная олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найти все пары натуральных чисел $(x,\ y)$ таких, что $2^x+3^y$ является точным квадратом.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC.$ Прямые $AP,$ $BP$ и $CP$ пересекают прямые $BC,$ $CA$ и $AB$ соответственно в точках $D,$ $E$ и $F.$ Докажите, что если два из шести четырёхугольников $ABDE,$ $BCEF,$ $CAFD,$ $AEPF,$ $BFPD$ и $CDPE$ таковы, что около них можно описать окружность, то окружность можно описать около каждого из этих шести четырёхугольников.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть $N=m^{2018}+1$ $(m\in\mathbb{N}, m > 2018)$. На доске в указанном порядке в ряд выписаны числа $N,$ $N-m,$ $N-2m,$ $ \ldots,$ $m+1,$ $1.$ За один шаг с доски стирается самое левое из оставшихся чисел вместе со своими делителями (если такие есть). Эту операцию проделали несколько раз, пока на доске не осталось ни одного числа. Какое число стёрли последним?
комментарий/решение(5)

Задача №4. Пусть ${{S}_{n}}=\left\{ 0,1,2,\ldots ,4n-1 \right\}.$ Подмножество $A$ множества ${{S}_{n}}$ называется редким, если для любого $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ выполняются условия:
$\left| A\cap \left\{ 4k+1,4k+2,4k+3 \right\} \right|\le 1,$
$\left| A\cap \left\{ 4k-2,4k-1,4k,4k+1,4k+2 \right\} \right|\le 2.$
Найдите количество редких подмножеств. (Здесь $|M|$ означает количество элементов множества $M$.)
комментарий/решение

Задача №5. Найти все функции $f:\left( 0,+\infty \right)\to \left( 0,+\infty \right)$, удовлетворяющие при всех $x,y\in \left( 0,+\infty \right)$ условию $f(x)f(yf(x))=f\left( x+y \right)$.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точки $A_1,B_1,C_1$ и $D_1$ выбраны соответственно на отрезках $AO,BO,CO$ и $DO$ так, что $AA_1=CC_1$, $BB_1=DD_1$. Пусть описанные окружности треугольников $AOB$ и $COD$ второй раз пересекаются в точке $M$, описанные окружности треугольников $AOD$ и $BOC$ второй раз пересекаются в точке $N$, описанные окружности треугольников $A_1OB_1$ и $C_1OD_1$ второй раз пересекаются в точке $P$, описанные окружности треугольников $A_1OD_1$ и $B_1OC_1$ второй раз пересекаются в точке $Q$. Докажите, что точки $M,$ $N,$ $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(2)