Областная олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

Пусть $N=m^{2018}+1$ $(m\in\mathbb{N}, m > 2018)$. На доске в указанном порядке в ряд выписаны числа $N,$ $N-m,$ $N-2m,$ $ \ldots,$ $m+1,$ $1.$ За один шаг с доски стирается самое левое из оставшихся чисел вместе со своими делителями (если такие есть). Эту операцию проделали несколько раз, пока на доске не осталось ни одного числа. Какое число стёрли последним?

Комментарий/решение

Ответ:$[\dfrac{N}{2}]+1$

Решение. Все числа ,до $[\dfrac{N}{2}]$, являются делителями чисел,отстоявших слева этого ряда. В первую очередь будут зачеркнуты эти $[\dfrac{N}{2}]$ числа и часть чисел слева. Пусть слева зачеркнуто некоторое количество чисел. Те числа, которые лежат между зачеркнутыми левыми и правыми числами, близки между собой и не могут приходиться друг другу делителями. $\dfrac{x+a}{x}$~1 при достаточно больших $x$ , поэтому сразу же после зачеркивания $[\dfrac{N}{2}]$ чисел справа, оставшиеся слева будут зачеркиваться по очереди. Из этого следует, что последнее зачеркнутое число :$[\dfrac{N}{2}]+1$

Вроде ответ не совсем верный. Разберем для $2\nmid m$

Поймем, что $[\dfrac{N}{2}]=[\dfrac{m^{2018}+1}{2}]=\dfrac{m^{2018}+1}{2}$

Тогда еще заметим, что если назовем числа в ряде как $a_{1};a_{2};...;a_{k}$ то $m\mid a_{i}-1$. $(1\leq i \leq k)$ Но $\dfrac{m^{2018}+1}{2} +1-1$ не делится на $m$

От чего $[\dfrac{N}{2}]+1$ не может быть в этом ряде, либо я что то не понял

Кажется, я нашел ошибку в своем решении. Скоро исправлю

Скоро...

ему расписывать просто лень