Областная олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точки ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ и ${{D}_{1}}$ выбраны соответственно на отрезках $AO,BO,CO$ и $DO$ так, что $A{{A}_{1}}=C{{C}_{1}}$, $B{{B}_{1}}=D{{D}_{1}}$. Пусть описанные окружности треугольников $AOD$ и $BOC$ второй раз пересекаются в точке $M$, описанные окружности треугольников $AOD$ и $BOC$ второй раз пересекаются в точке $N$, описанные окружности треугольников ${{A}_{1}}O{{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}O{{D}_{1}}$ второй раз пересекаются в точке $P$, описанные окружности треугольников ${{A}_{1}}O{{D}_{1}}$ и ${{B}_{1}}O{{C}_{1}}$ второй раз пересекаются в точке $Q$. Докажите, что точки $M,N,P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Пусть $X,Y$ середины отрезков $AC,BD$ соответственно. Очевидно, что

$$\angle NAC = \angle NDB, \angle ACN=\angle DBN.$$

Тогда $\triangle NDB \equiv \triangle NAC,$ откуда $\angle NXA= \angle NYD,$ иными словами $N\in (OXY)-$описанная окружность $\triangle OXY.$

Аналогично $M,P,Q\in (OXY),$ значит $M,N,P,Q$ лежат на одной окружности.

Лемма:

Рассмотрим угол $ROS$ и две пары точек $R_1$, $R_2$ на $OR$; $S_1$, $S_2$ на $OS$, такие что $S$ это середина $S_1 S_2$, R середина $R_1 R_2$.

Рассмотрим поворотную гомотетию, переводящую $R_1R$ в $S_1S$. Ее центр лежит на $(ROS) \cap (R_1 O S_1)$. Рассмотрим поворотную гомотетию, переводящую $R_2R$ в $S_2S$. ее центр лежит на $(ROS) \cap (R_2OS_2$). Но это очевидно, одна и та же поворотная гомотетия, а значит это одна и та же точка. Т.е $(R_2OS_2) \cap (R_1OS_1) \in (ROS)$ независимо от выбора точек $R_1, S_1, R_2, S_2$.

Пусть $E$ - Середина $AC$, $F$ - середина $BD$ в исходной задаче.

Теперь рассмотрим угол, образованный диагоналями и применим лемму, в качестве $R$ и $S$ возьмем $E$ и $F$. Теперь, рассматривая четверки точек

$A, C ; B, D$

$C, A ; B, D$

$A_1, C_1; B_1, D_1$

$C_1, A_1, B_1, D_1$

в качестве $R_1, R_2, S_1, S_2$ и соответствующие окружности и центры поворотных гомотетий в лемме, получаем что все 4 точки лежат на $(OEF)$, а это и есть точки $M, N, P, Q$ из условия.