Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 8 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{77}$ қосындысы 7-ге бөлінеді ма?
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Нақты

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары үшін

$(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$ теңдігі орындалады.

$a=b=c$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

Есеп №3. Балақай әр күн сайын

$a$ немесе

$b$ километр жүреді, мүұндағы

$a$ мен

$b$ — сатурал сандар және

$a > b$ . Балақай дәл 100 километрді 9 немесе 11 күнде жүріп өте алатындай, бірақ 10 жүріп өте алмайтындай

$a$ мен

$b$ сандарының барлық мүмкін мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Қанша екі орынды санның цифрларының қосындысы бүтін санның квадраты болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Сегізінші сыныптың оқушысы кез келген квадратты одан кіші 10 квадратқа бөлшектей аламын дейді (кіші квадраттардың ішінде өлшемдері бірдей квадрат болуы мүмкін). Ол қателесіп тұрған жоқ па?
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$x+y=4$ және

$x^2+y^2=10$ екені белгілі.

$x^4+y^4$ өрнегінің мәнін табыңыз.
комментарий/решение(6)