Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 8 класс

Сколько двузначных натуральных чисел обладает тем свойством, что сумма их цифр является квадратом целого числа?

Комментарий/решение

Пусть $\overline{ab}$ искомое двузначное число. С одной стороны $0 < a+b \leqslant 18$, с другой стороны $a+b=n^2$, тогда $n^2=\{1;4;9;16\}$.

Далее простенький перебор:

1) Если $n^2=1$, то $\overline{ab}=\{10\}$.

2) Если $n^2=4$, то $\overline{ab}=\{13,22,31,40\}$.

3) Если $n^2=9$, то $\overline{ab}=\{18,27,36,45,54,63,72,81,90\}$.

4) Если $n^2=16$, то $\overline{ab}=\{79,88,97\}$.