Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Делится ли число

$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{77}$ на 7?
комментарий/решение(4)

Задача №2. Известно, что для вещественных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ справедливо равенство

$(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$ . Докажите, что

$a=b=c$ .
комментарий/решение(4)

Задача №3. Мальчик пробегает каждый день либо

$a$ , либо

$b$ километров, где

$a$ и

$b$ — натуральные числа,

$a > b$ . Мальчик может пробежать ровно 100 километров за 9 или 11 дней, но не может за 10 дней. Найдите все возможные значения

$a$ и

$b$ .
комментарий/решение(3)

Задача №4. Сколько двузначных натуральных чисел обладает тем свойством, что сумма их цифр является квадратом целого числа?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Один восьмиклассник утверждает, что сможет разрезать любой квадрат на десять меньших квадратов (среди которых могут быть одинаковые). Не ошибается ли он?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Известно, что

$x+y=4$ и

$x^2+y^2=10$ . Найдите значение

$x^4+y^4$ .
комментарий/решение(6)