Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Делится ли число $1+2+2^2+2^3+\dots+2^{77}$ на 7?
комментарий/решение(4)

Задача №2. Известно, что для вещественных чисел $a$, $b$, $c$ справедливо равенство $(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$. Докажите, что $a=b=c$.
комментарий/решение(3)

Задача №3. Мальчик пробегает каждый день либо $a$, либо $b$ километров, где $a$ и $b$ — натуральные числа, $a > b$. Мальчик может пробежать ровно 100 километров за 9 или 11 дней, но не может за 10 дней. Найдите все возможные значения $a$ и $b$.
комментарий/решение(3)

Задача №4. Сколько двузначных натуральных чисел обладает тем свойством, что сумма их цифр является квадратом целого числа?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Один восьмиклассник утверждает, что сможет разрезать любой квадрат на десять меньших квадратов (среди которых могут быть одинаковые). Не ошибается ли он?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Известно, что $x+y=4$ и $x^2+y^2=10$. Найдите значение $x^4+y^4$.
комментарий/решение(5)