Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 8 сынып

$x+y=4$ және $x^2+y^2=10$ екені белгілі. $x^4+y^4$ өрнегінің мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

$x+y=4$, тогда $(x+y)^2=16$, т.е. $x^2+2xy+y^2=16$, откуда $xy=\dfrac{16-x^2-y^2}{2}=\dfrac{6}{2}=3$.

$x^4+y^4=x^4+2x^2y^2+y^4-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=10^2-2\cdot3^2=82.$

$(x+y)^2$ = $x^2$+$y^2$+2xy отсюда по условию понимаем что ху=3

Отсюда $2ху^2$=18

$($х^2$+$у^2$)^2$ отсюда $х^4$+$у^4$+$2х^2у^2$

Отсюда 100-18=82=$х^4$+$у^4$

Там на второй строчке 2$(xy)^2$

$(x^2+y^2)^2=x^4+y^4+2x^2y^2=100$

$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=16$

$10+2xy=16$

$2xy=6$

$xy=3$

$x^2y^2=9$

$x^4+y^4+2*9=100$

$x^4+y^4=82$

Шешуі: $x^2 + 2xy + y^2 = 16$ немесе $2xy + 10 = 16 \Rightarrow xy = 3$, $x^4 + y^4 = 100 - 2x^2y^2$.

Далее, подставим $xy = 3$ в уравнение $x^4 + y^4 = 100 - 2x^2y^2$:

$$x^4 + y^4 = 100 - 2 \cdot (3)^2$$

$$x^4 + y^4 = 100 - 18 = 82$$

Таким образом, решение системы уравнений приводит к $x^4 + y^4 = 82$.

$(x + y)^2 = 16$

$10 + 2xy = 16$

$6 = 2xy$

$3 = xy$

$x = 4 - y$

$(4-y)(y) = 3$

$y^2 - 4y +3 = 0$

$(y-3)(y-1) = 0$

$(x,y) = 4 and 1$

So, $x^4 + y^4 = 81 + 1 = 82$