Западно-Китайская математическая олимпиада, 2017 год

Задача №1. Пусть $p$ простое и $n$ натуральное такое, что $p^2$ делит $\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {{k^2} + 1} \right)} $. Докажите, что $p < 2n$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Пусть натуральное число $n$ такое, что существуют натуральные числа $x_1,x_2,\ldots ,x_n$, удовлетворяющие равенству $$x_1x_2\ldots x_n(x_1 + x_2 + \ldots + x_n)=100n.$$ Найдите наибольшее возможное значение $n$.
комментарий/решение

---

Задача №3.  Пусть $D$ — точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Точки $I_1$ и $I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $AI_1D$ и $AI_2D$ соответственно. Также, пусть прямые $I_1O_2$ и $I_2O_1$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $PD\perp BC$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Пусть $n$ и $k$ — данные целые числа, причем $n \ge k \ge 2$. Петя и Вася играют в игру на доске $n \times n$, состоящей из белых клеток. За один ход можно перекрасить любую белую клетку в черный цвет. Петя ходит первым. Игра заканчивается, когда в каждом квадрате $k \times k$ есть хотя бы одна черная клетка. Игрок, сделавший последний ход, считается победителем. У кого из ребят есть выигрышная стратегия?
комментарий/решение

---

Задача №5.  Пусть $a_1,a_2,\ldots ,a_9$ — натуральные числа (не обязательно различные) удовлетворяющие условию: для любых $1\le i < j < k\le 9$, существует $l$ $(1 \le l \le 9)$ отличное от $i$, $j$ и $k$ такое, что $a_i+a_j+a_k+a_l=100$. Найдите количество таких наборов $(a_1,a_2,\ldots ,a_9)$.
комментарий/решение

---

Задача №6.  В остроугольном треугольнике $ABC$, $D$ и $E$ — точки на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Пусть отрезки $BE$ и $DC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $BD$ и $CE$ соответственно. Докажите, что $H$ является ортоцентром треугольника $AMN$ тогда и только тогда, когда точки $B$, $C$, $E$, $D$ лежат на одной окружности и $BE\perp CD$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №7.  Пусть $n=2^{\alpha} \cdot q$ — натуральное число, где $\alpha$ — неотрицательное целое и $q$ — нечетное число. Докажите, что для любого натурального $m$, количество целочисленных решений уравнения $x_1^2+x_2^2+\ldots +x_n^2=m$ делится на $2^{\alpha +1}$.
комментарий/решение

---

Задача №8.  Даны действительные числа $a_1,a_2,\ldots,a_n > 0$ $(n\geq 2)$. Докажите, что $$\sum_{i=1}^n \max\{a_1,a_2,\ldots,a_i \} \cdot \min \{a_i,a_{i+1},\ldots,a_n\}\leq \frac{n}{2\sqrt{n-1}}\sum_{i=1}^n a^2_i.$$
комментарий/решение

---