Западно-Китайская математическая олимпиада, 2017 год

В остроугольном треугольнике $ABC$, $D$ и $E$ — точки на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Пусть отрезки $BE$ и $DC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $BD$ и $CE$ соответственно. Докажите, что $H$ является ортоцентром треугольника $AMN$ тогда и только тогда, когда точки $B$, $C$, $E$, $D$ лежат на одной окружности и $BE\perp CD$.

Комментарий/решение

$1:$

Пусть $H$ - ортоцентр $\triangle AMN.$ $F,G -$ основания высот из $N$ и $M$ $\triangle AMN$ соответственно. $(D,F;M,B) \stackrel{H}{=}(C,N;G,E) \Leftrightarrow \dfrac{DM\cdot FB}{DB\cdot FM}=\dfrac{CG\cdot NE}{CE\cdot NG}.$ $\dfrac{FB}{FM}=\dfrac{GC}{NG}$ и $\triangle HFM \sim \triangle HGN\Leftrightarrow \dfrac{BF}{CG}=\dfrac{FM}{GN}=\dfrac{MH}{NH}.$ $\angle BMH=\angle CNH \Rightarrow \triangle BMH\sim \triangle CNH, \angle DCE=\angle EBD,$ То есть $B,C,E,D$ лежат на одной окружности. Так как в $\triangle BHD$ $HM$ - медиана, то в $\triangle CHE$ продолжение $HM$ - симедиана и высота, значит $BE\bot CD$, так как если $H$ - центр окружности $BCED$, то $\triangle ABC$ будет вырожденный.

$2:$

Так как $BCED$ - вписанный ортодиагональный четырехугольник, то по теореме Брахмагупты $MH\bot AN$ и $NH\bot AM$, значит $H$ - ортоцентр $\triangle AMN$.