Западно-Китайская математическая олимпиада, 2017 год

Задача №1. Пусть

$p$ простое и

$n$ натуральное такое, что

$p^2$ делит

$\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {{k^2} + 1} \right)}$ . Докажите, что

$p < 2n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть натуральное число

$n$ такое, что существуют натуральные числа

$x_1,x_2,\ldots ,x_n$ , удовлетворяющие равенству

$x_1x_2\ldots x_n(x_1 + x_2 + \ldots + x_n)=100n.$ Найдите наибольшее возможное значение

$n$ .
комментарий/решение

Задача №3. Пусть

$D$ — точка на стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ . Точки

$I_1$ и

$I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников

$ABD$ и

$ACD$ соответственно. Пусть

$O_1$ и

$O_2$ — центры описанных окружностей треугольников

$AI_1D$ и

$AI_2D$ соответственно. Также, пусть прямые

$I_1O_2$ и

$I_2O_1$ пересекаются в точке

$P$ . Докажите, что

$PD\perp BC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$n$ и

$k$ — данные целые числа, причем

$n \ge k \ge 2$ . Петя и Вася играют в игру на доске

$n \times n$ , состоящей из белых клеток. За один ход можно перекрасить любую белую клетку в черный цвет. Петя ходит первым. Игра заканчивается, когда в каждом квадрате

$k \times k$ есть хотя бы одна черная клетка. Игрок, сделавший последний ход, считается победителем. У кого из ребят есть выигрышная стратегия?
комментарий/решение

Задача №5. Пусть

$a_1,a_2,\ldots ,a_9$ — натуральные числа (не обязательно различные) удовлетворяющие условию: для любых

$1\le i < j < k\le 9$ , существует

$l$

$(1 \le l \le 9)$ отличное от

$i$ ,

$j$ и

$k$ такое, что

$a_i+a_j+a_k+a_l=100$ . Найдите количество таких наборов

$(a_1,a_2,\ldots ,a_9)$ .
комментарий/решение

Задача №6. В остроугольном треугольнике

$ABC$ ,

$D$ и

$E$ — точки на сторонах

$AB$ и

$AC$ соответственно. Пусть отрезки

$BE$ и

$DC$ пересекаются в точке

$H$ . Пусть

$M$ и

$N$ — середины отрезков

$BD$ и

$CE$ соответственно. Докажите, что

$H$ является ортоцентром треугольника

$AMN$ тогда и только тогда, когда точки

$B$ ,

$C$ ,

$E$ ,

$D$ лежат на одной окружности и

$BE\perp CD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Пусть

$n=2^{\alpha} \cdot q$ — натуральное число, где

$\alpha$ — неотрицательное целое и

$q$ — нечетное число. Докажите, что для любого натурального

$m$ , количество целочисленных решений уравнения

$x_1^2+x_2^2+\ldots +x_n^2=m$ делится на

$2^{\alpha +1}$ .
комментарий/решение

Задача №8. Даны действительные числа

$a_1,a_2,\ldots,a_n > 0$

$(n\geq 2)$ . Докажите, что

$\sum_{i=1}^n \max\{a_1,a_2,\ldots,a_i \} \cdot \min \{a_i,a_{i+1},\ldots,a_n\}\leq \frac{n}{2\sqrt{n-1}}\sum_{i=1}^n a^2_i.$
комментарий/решение

результаты