Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Геометриядан Иран олимпиадасы, 2015 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)


Есеп №1. Центрлері сәйкесінше O1 және O2 нүктелері болатын ω1 және ω2 шеңберлері A және B нүктелерінде қиылысады. X нүктесі ω2-де, ал Y нүктесі ω1-де XBY=90 болатындай жатыр. X нүктесі O1X түзуі мен ω2 шеңберінің екінші қиылысу нүктесі, ал K нүктесі XY түзуі мен ω2 шеңберінің екінші қиылысу нүктесі болып табылады. X нүктесі ω2-нің AK доғасының ортасы болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Центрі O болатын ω шеңберіне дұрыс ABC үшбұрышы іштей сызылған. P нүктесі — BC доғадан алынған нүкте болсын. ω-ға P нүктесінде жүргізілген жанама AB және AC қабырғаларының созындысын K және L нүктелерінде қияды. KOL>90 екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. H нүктесі — ABC үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі болып табылады. H нүктесі арқылы өзара перпендикуляр l1 және l2 түзулері жүргізілген. l1 түзуі BC қабырғасы мен AB қабырғасының созындысын сәйкесінше D және Z нүктелерінде қияды. Ал l2 түзуі BC қабырғасы мен AC қабырғасының созындысын сәйкесінше E және X нүктелерінде қияды. Жазықтықтағы Y нүктесі — YDAC және YEAB болатындай нүкте. X,Y,Z нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. ABC үшбұрышы берілген. Центрі A нүктесінде және радиусы AB болатын шеңбер AC түзуін екі нүктеде қияды. Центрі A нүктесінде және радиусы AC болатын шеңбер AB түзуін екі нүктеде қияды. Осы төрт нүктені A1,A2,A3,A4 арқылы белгілейік. Дәл сол сияқты келесі төрт B1,B2,B3,B4 және C1,C2,C3,C4 нүктелерін анықтаймыз. Осы 12 нүкте екі шеңберде жатсын. ABC үшбұрышының теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Есеп №5. ABC үшбұрышының сыртына қарай ABA1B2, BCB1C2, CAC1A2 тіктөртбұрыштары сызылған. Жазықтықтағы C нүктесі CA1A1C2 және CB2B2C1 болатындай нүкте болсын. A және B нүктелері дәл сол сияқты анықталады. AA, BB, CC түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение