Геометриядан Иран олимпиадасы, 2015 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)

Есеп №1. Центрлері сәйкесінше

$O_1$ және

$O_2$ нүктелері болатын

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$X$ нүктесі

$\omega_2$ -де, ал

$Y$ нүктесі

$\omega_1$ -де

$\angle{XBY}=90^\circ$ болатындай жатыр.

$X'$ нүктесі

$O_1X$ түзуі мен

$\omega_2$ шеңберінің екінші қиылысу нүктесі, ал

$K$ нүктесі

$X'Y$ түзуі мен

$\omega_2$ шеңберінің екінші қиылысу нүктесі болып табылады.

$X$ нүктесі

$\omega_2$ -нің

$AK$ доғасының ортасы болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне дұрыс

$ABC$ үшбұрышы іштей сызылған.

$P$ нүктесі —

$BC$ доғадан алынған нүкте болсын.

$\omega$ -ға

$P$ нүктесінде жүргізілген жанама

$AB$ және

$AC$ қабырғаларының созындысын

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$\angle{KOL} > 90^\circ$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$H$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі болып табылады.

$H$ нүктесі арқылы өзара перпендикуляр

$l_1$ және

$l_2$ түзулері жүргізілген.

$l_1$ түзуі

$BC$ қабырғасы мен

$AB$ қабырғасының созындысын сәйкесінше

$D$ және

$Z$ нүктелерінде қияды. Ал

$l_2$ түзуі

$BC$ қабырғасы мен

$AC$ қабырғасының созындысын сәйкесінше

$E$ және

$X$ нүктелерінде қияды. Жазықтықтағы

$Y$ нүктесі —

${YD\parallel AC}$ және

${YE\parallel AB}$ болатындай нүкте.

$X, Y, Z$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышы берілген. Центрі

$A$ нүктесінде және радиусы

$AB$ болатын шеңбер

$AC$ түзуін екі нүктеде қияды. Центрі

$A$ нүктесінде және радиусы

$AC$ болатын шеңбер

$AB$ түзуін екі нүктеде қияды. Осы төрт нүктені

$A_1, A_2, A_3, A_4$ арқылы белгілейік. Дәл сол сияқты келесі төрт

$B_1, B_2, B_3, B_4$ және

$C_1, C_2, C_3, C_4$ нүктелерін анықтаймыз. Осы 12 нүкте екі шеңберде жатсын.

$ABC$ үшбұрышының теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышының сыртына қарай

$ABA_1B_2$ ,

$BCB_1C_2$ ,

$CAC_1A_2$ тіктөртбұрыштары сызылған. Жазықтықтағы

$C'$ нүктесі

$C'A_1\perp A_1C_2$ және

$C'B_2\perp B_2C_1$ болатындай нүкте болсын.

$A'$ және

$B'$ нүктелері дәл сол сияқты анықталады.

$AA'$ ,

$BB'$ ,

$CC'$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение