2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, третья лига, 11-12 классы

Дан треугольник $ABC$. Окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает прямую $AC$ в двух точках. Также окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AC$ пересекает прямую $AB$ в двух точках. Обозначим эти четыре точки через $A_1, A_2, A_3, A_4$. Аналогично определим четверки точек $B_1, B_2, B_3, B_4$ и $C_1, C_2, C_3, C_4$. Пусть эти 12 точек лежат на двух окружностях. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.