2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, третья лига, 11-12 классы

Задача №1. Две окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ , с центрами в точках

$O_1$ и

$O_2$ соответственно, пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Точка

$X$ лежит на

$\omega_2$ , а точка

$Y$ лежит на

$\omega_1$ так, что

$\angle{XBY}=90^\circ$ . Пусть

$X'$ вторая точка пересечения прямой

$O_1X$ и окружности

$\omega_2$ , а

$K$ вторая точка пересечения прямой

$X'Y$ и окружности

$\omega_2$ . Докажите, что

$X$ — середина дуги

$AK$ окружности

$\omega_2$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. В окружность

$\omega$ с центром

$O$ вписан правильный треугольник

$ABC$ . Пусть

$P$ — точка дуги

$BC$ . Касательная прямая к

$\omega$ в точке

$P$ пересекает продолжения прямых

$AB$ и

$AC$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. Докажите, что

$\angle{KOL} > 90^\circ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$H$ — точка пересечения высот треугольника

$ABC$ . Через точку

$H$ проведены две взаимно перпендикулярные прямые

$l_1$ и

$l_2$ . Прямая

$l_1$ пересекает сторону

$BC$ и продолжение отрезка

$AB$ в точках

$D$ и

$Z$ соответственно. А прямая

$l_2$ пересекает сторону

$BC$ и продолжение отрезка

$AC$ в точках

$E$ и

$X$ соответственно. Пусть

$Y$ — точка плоскости такая, что

$YD\parallel AC$ и

$YE\parallel AB$ . Докажите, что

$X, Y, Z$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Дан треугольник

$ABC$ . Окружность с центром в точке

$A$ и радиусом

$AB$ пересекает прямую

$AC$ в двух точках. Также окружность с центром в точке

$A$ и радиусом

$AC$ пересекает прямую

$AB$ в двух точках. Обозначим эти четыре точки через

$A_1, A_2, A_3, A_4$ . Аналогично определим четверки точек

$B_1, B_2, B_3, B_4$ и

$C_1, C_2, C_3, C_4$ . Пусть эти 12 точек лежат на двух окружностях. Докажите, что треугольник

$ABC$ равнобедренный.
комментарий/решение

Задача №5. На сторонах треугольника

$ABC$ во внешнюю сторону построены прямоугольники

$ABA_1B_2$ ,

$BCB_1C_2$ ,

$CAC_1A_2$ . Пусть

$C'$ — точка плоскости такая, что

$C'A_1\perp A_1C_2$ и

$C'B_2\perp B_2C_1$ . Точки

$A'$ и

$B'$ определяются аналогично. Докажите, что прямые

$AA'$ ,

$BB'$ ,

$CC'$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение