1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Дистанциялық олимпиадалар
  4. Геометриядан Иран олимпиадасы
  5. 2016 жыл
  6. Үшінші лига, 11-12 сыныптар

Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)


Есеп №1. $\omega$ және $\omega'$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $\omega$-ға $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $\omega'$-ты $C$ нүктесінде, ал $\omega'$-ке $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $\omega$-ны $D$ нүктесінде қияды. $CD$ түзуі $\omega$ мен $\omega'$-ты сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қисын ($E$ нүктесі $F$ пен $C$ арасында). $AC$ түзуіне $E$ нүктесінен түсірілген перпендикуляр $\omega'$-ты $P$ нүктесінде, ал $AD$ түзуіне $F$ нүктесінен түсірілген перпендикуляр $\omega$-ны $Q$ нүктесінде қияды ($A$, $P$ және $Q$ нүктелері $CD$ түзуінің бір жағында жатыр). $A$, $P$ және $Q$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $AD$ биіктігі жүргізілген, ал $M$ — $AC$-ның ортасы. $X$ нүктесі $\angle{AXB}=\angle{DXM}=90^\circ$ болатындай нүкте болсын ($X$ пен $C$ нүктелері $BM$ түзуінің екі жағында жатсын). $\angle{XMB}=2\angle{MBC}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $AD$ мен $BC$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. $I_1$ мен $I_2$ нүктелері сәйкесінше $PAB$ мен $PDC$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің центрлері. $O$ нүктесі — $PAB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі, ал $H$ — $PDC$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі. $AI_1B$ және $DHC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жанасатыны, $AOB$ және $DI_2C$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жанасқан жағдайда ғана, және тек сол жағдайда ғана жанасатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагональдары $P$, $AB$ және $CD$ түзулері $E$, ал $AD$ және $BC$ түзулері $F$ нүктесінде қиылысады. $\omega_1$ шеңбері — $D$ арқылы өтетін және $AC$ түзуін $P$ нүктесінде жанайтын шеңбер болсын. Дәл сол сияқты $\omega_2$ шеңбері — $C$ арқылы өтетін және $BD$ түзуін $P$ нүктесінде жанайтын шеңбер болсын. $\omega_1$ шеңбері $AD$ түзуін екінші рет $X$, ал $\omega_2$ шеңбері $BC$ түзуін екінші рет $Y$ нүктесінде қисын. Ал $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері екінші рет $Q$ нүктесінде қиылыссын. $P$ нүктесінен $EF$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр $XQY$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Есеп №5. Кез келген $1\le i,j,k\le 2$ үшін барлық $X_i Y_j Z_k$ үшбұрыштары ұқсас болатындай жазықтықта $X_1, X_2, Y_1,Y_2, Z_1,Z_2$ нүктелері табылады ма?
комментарий/решение(1)