Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)
Есеп №1. ω және ω′ шеңберлері A және B нүктелерінде қиылысады. ω-ға A нүктесінде жүргізілген жанама ω′-ты C нүктесінде, ал ω′-ке A нүктесінде жүргізілген жанама ω-ны D нүктесінде қияды.
CD түзуі ω мен ω′-ты сәйкесінше E және F нүктелерінде қисын (E нүктесі F пен C арасында). AC түзуіне E нүктесінен түсірілген перпендикуляр ω′-ты P нүктесінде, ал AD түзуіне F нүктесінен түсірілген перпендикуляр ω-ны Q нүктесінде қияды (A, P және Q нүктелері CD түзуінің бір жағында жатыр). A, P және Q нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының AD биіктігі жүргізілген, ал M — AC-ның ортасы. X нүктесі ∠AXB=∠DXM=90∘ болатындай нүкте болсын (X пен C нүктелері BM түзуінің екі жағында жатсын). ∠XMB=2∠MBC екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Дөңес ABCD төртбұрышында AD мен BC түзулері P нүктесінде қиылысады. I1 мен I2 нүктелері сәйкесінше PAB мен PDC үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің центрлері. O нүктесі — PAB үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі, ал H — PDC үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі. AI1B және DHC үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жанасатыны, AOB және DI2C үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жанасқан жағдайда ғана, және тек сол жағдайда ғана жанасатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Дөңес ABCD төртбұрышының диагональдары P, AB және CD түзулері E, ал AD және BC түзулері F нүктесінде қиылысады. ω1 шеңбері — D арқылы өтетін және AC түзуін P нүктесінде жанайтын шеңбер болсын. Дәл сол сияқты ω2 шеңбері — C арқылы өтетін және BD түзуін P нүктесінде жанайтын шеңбер болсын. ω1 шеңбері AD түзуін екінші рет X, ал ω2 шеңбері BC түзуін екінші рет Y нүктесінде қисын. Ал ω1 және ω2 шеңберлері екінші рет Q нүктесінде қиылыссын. P нүктесінен EF түзуіне жүргізілген перпендикуляр XQY үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Кез келген 1≤i,j,k≤2 үшін барлық XiYjZk үшбұрыштары ұқсас болатындай жазықтықта X1,X2,Y1,Y2,Z1,Z2 нүктелері табылады ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)