Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)

Есеп №1.

$\omega$ және

$\omega'$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$\omega$ -ға

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама

$\omega'$ -ты

$C$ нүктесінде, ал

$\omega'$ -ке

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама

$\omega$ -ны

$D$ нүктесінде қияды.

$CD$ түзуі

$\omega$ мен

$\omega'$ -ты сәйкесінше

$E$ және

$F$ нүктелерінде қисын (

$E$ нүктесі

$F$ пен

$C$ арасында).

$AC$ түзуіне

$E$ нүктесінен түсірілген перпендикуляр

$\omega'$ -ты

$P$ нүктесінде, ал

$AD$ түзуіне

$F$ нүктесінен түсірілген перпендикуляр

$\omega$ -ны

$Q$ нүктесінде қияды (

$A$ ,

$P$ және

$Q$ нүктелері

$CD$ түзуінің бір жағында жатыр).

$A$ ,

$P$ және

$Q$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$AD$ биіктігі жүргізілген, ал

$M$ —

$AC$ -ның ортасы.

$X$ нүктесі

$\angle{AXB}=\angle{DXM}=90^\circ$ болатындай нүкте болсын (

$X$ пен

$C$ нүктелері

$BM$ түзуінің екі жағында жатсын).

$\angle{XMB}=2\angle{MBC}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$AD$ мен

$BC$ түзулері

$P$ нүктесінде қиылысады.

$I_1$ мен

$I_2$ нүктелері сәйкесінше

$PAB$ мен

$PDC$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің центрлері.

$O$ нүктесі —

$PAB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі, ал

$H$ —

$PDC$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі.

$AI_1B$ және

$DHC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жанасатыны,

$AOB$ және

$DI_2C$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жанасқан жағдайда ғана, және тек сол жағдайда ғана жанасатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышының диагональдары

$P$ ,

$AB$ және

$CD$ түзулері

$E$ , ал

$AD$ және

$BC$ түзулері

$F$ нүктесінде қиылысады.

$\omega_1$ шеңбері —

$D$ арқылы өтетін және

$AC$ түзуін

$P$ нүктесінде жанайтын шеңбер болсын. Дәл сол сияқты

$\omega_2$ шеңбері —

$C$ арқылы өтетін және

$BD$ түзуін

$P$ нүктесінде жанайтын шеңбер болсын.

$\omega_1$ шеңбері

$AD$ түзуін екінші рет

$X$ , ал

$\omega_2$ шеңбері

$BC$ түзуін екінші рет

$Y$ нүктесінде қисын. Ал

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері екінші рет

$Q$ нүктесінде қиылыссын.

$P$ нүктесінен

$EF$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр

$XQY$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №5. Кез келген

$1\le i,j,k\le 2$ үшін барлық

$X_i Y_j Z_k$ үшбұрыштары ұқсас болатындай жазықтықта

$X_1, X_2, Y_1,Y_2, Z_1,Z_2$ нүктелері табылады ма?
комментарий/решение(1)