3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, третья лига, 11-12 классы

Продолжения сторон $AD$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Точка $A$ лежит между $D$ и $P$. $I_1$ и $I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников $PAB$ и $PDC$ соответственно. Пусть $O$ -- центр описанной окружности треугольника $PAB$, а $H$ — ортоцентр треугольника $PDC$. Докажите, что описанные окружности треугольников $AI_1B$ и $DHC$ касаются тогда и только тогда, когда касаются описанные окружности треугольников $AOB$ и $DI_2C$.

Комментарий/решение

Пусть $E$ - пересечение касание окружностей $(AI_1B)$ и $(DHC)$. $F=(AED)\cap (BEC)$, а счетом углов:

$$\angle (BF,FA)=\angle (BF,FE)+\angle (FE,FA)=\angle (BC,CE)+\angle (ED,DA)=\angle DEC-\angle DPC=180^\circ-2\angle APB,$$

значит $F\in AOB$.

$$\angle (DF,FC)=\angle (DF,FE)+\angle (FE,FC)=\angle (DA,AE)+\angle (EB,BC)=\angle AI_1B=\angle DI_2C,$$

где в предпоследнем равенстве использовалась симметричность $(AI_1B)$ относительно угла $APB$: то есть пусть $G,I$ - пересечение $(AI_1B)$ с $PA$ и $PB$ соответственно. По лемме о трезубце центр $(AI_1B)$ есть середина дуги $AB$ $(PAB)$. $\angle GAE+\angle EAI=\angle GI_1E+\angle EI_1B+\angle AI_1G=\angle AI_1B$. Из этого $F\in DI_2C$

Далее нужно просто понимать, что при инверсии относительно точки Микеля $ABCD$ $M$ с радиусом $\sqrt{MA\cdot MC}$ + симметрии относительно биссектрисы угла $AMC$, получится следующее:

$$A\to C, B\to D, E \to F,$$

то есть пара касающихся $(AEB)$ и $(DEC)$ перейдет в пару касающихся окружностей $(AFB)$ и $(DFC)$, что равносильно требуемому.